Кулаев Руслан Черменович – д.ф.-м.н. доцент, ведущий научный сотрудник отдела математического моделирования. 

Дифференциальные операторы; дифференциальные уравнения на графах; спектральная теория дифференциальных операторов; интегрируемые системы; ортогонально аддитивные операторы. 

Получены условия однозначной разрешимости краевой задачи для уравнения четвертого порядка на графе и достаточные условия вырожденности задачи, связывающие нырожденность задачи со знаками коэффициентов уравнения и коэффициентов условий согласования в узловых точках графа. Обоснован метод редукции краевой задачи для уравнения четвертого порядка на графе. Установлены знаки коэффициентов краевых условий редуцированной задачи и связи между этими коэффициентами. Доказана невырожденность редуцированной задачи. Изучен вопрос об условиях положительности функции Грина. Установлено необходимое и достаточное условие положительности функции Грина. Условие формулируется в терминах положительности некоторых специальных решений однородного уравнения на графе. Найденное условие идеологически перекликается с так называемыми условиями неосцилляции дифференциальных операторов. Установлен алгоритмически эффективный критерий положительности функции Грина краевой задачи для уравнения четвертого порядка на графе-цепочке, описывающей малые деформации упруго опертого стержня. Выявлено множество значений коэффициентов условий согласования, при которых функция Грина положительна, и вне которого у нее теряется это свойство. Доказана эквивалентность условий положительности функции Грина и условий ее осцилляционности. Обоснован предельный переход от конечного числа промежуточных точек, в которых задаются условия согласования, к бесконечному. Показано, что осцилляционность функции Грина задачи Дирихле не зависит от значений коэффициентов граничных условий, связывающих первую и вторую производные. Сформулированы условия, обеспечивающие выполнение принципа максимума для решений однородного уравнения четвертого порядка на графе. Получены условия положительности решений дифференциальных неравенств четвертого порядка на графах. Разработана теория неосцилляции уравнений четвертого порядка на графах, основанная на новых подходах при определении самого понятия неосцилляции. Предложен новый подход к развитию теории. Доказан аналог теоремы Штурма о разделении нулей решений уравнения 4-го порядка. Установлена связь неосцилляции и знакопостоянства функции Грина определенной краевой задачи. Изучены условия осцилляционности функции Грина многоточечной краевой задачи для уравнения четвертого порядка, описывающей малые деформации стержня, скрепленного со сплошным упругим основанием и, кроме того, имеющего в отдельных точках “сосредоточенные” упругие опоры. Показано, что условие положительности функции Грина является необходимым и достаточным для того, чтобы функции Грина обладала осцилляционными свойствами. Получены осцилляционные спектральные свойства дифференциального оператора четвертого порядка на сети. Установлены положительность и условие простоты собственных значений. Изучено распределение нули собственных функций. Показано, что k-я собственная функция имеет ровно k нулей внутри графа. Введен класс решений системы Дарбу в R3, удовлетворяющих условию факторизации вспомогательной линейной задачи второго порядка. Показано, что данная редукция обеспечивает (локальную) разрешимость системы Дарбу, и дано явное решение этой задачи для двух типов зависимых переменных. Построены также явные формулы для коэффициентов Ламе и решения ассоциированной линейной задачи. Показано, что известная в литературе редукция к слабо нелинейной системе является частным случаем рассматриваемого подхода.