Основные научные результаты, полученные в 2005 г.
 

Контакты

Адрес: Россия, 362027, Владикавказ,
ул. Маркуса, д. 22
Тел.: (8672) 53-21-00
E-mail: backoffice@smath.ru

 

Яндекс.Метрика

Основные научные результаты, полученные в 2005 г.

Часть 1. Важнейшие итоги

Используя синтетические методы алгебры и математической логики, получено новое решение проблемы Викстеда – Лозановского для расширенных пространств Канторовича.

Получены интегральные представления ультрараспределений в обобщенном подходе Берлинга – Бьорка. Показано, что классические структурные теоремы Л. Шварца, Ш. Румье, Х. Коматсу о представлении распределений и ультрараспределений рядами являются следствиями полученных результатов.

Часть 2. Основные результаты

Линейные пространства с дополнительными структурами

Пространства Канторовича. Установлено, что для расширенного комплексного пространства Канторовича с фиксированной структурой функционального кольца сигма-дистрибутивность базы (= булевой алгебры порядковых проекторов) равносильна каждому из следующих утверждений: 1) в этом пространстве нет нетривиальных дифференцирований; 2) каждый нерасширяющий эндоморфизм является порядковым проектором; 3) каждый нерасширяющий эндоморфизм совпадает с тождественным оператором.

Базисы в пространствах Кете. (1) Доказано, что система мономов в пространстве голоморфных функций, определённых на пространствах Кёте, образует абсолютный базис тогда и только тогда, когда пространство Кёте ядерно. Получено также представление в виде пространства числовых последовательностей указанного пространства голоморфных функций.

(2) Рассмотрены классы пространств Кёте, аналогичные известным пространствам, определяемым функциями Драгилева. Показано, что в пространствах их отдельных классов, а также в некоторых декартовых произведениях таких пространств каждое дополняемое подпространство имеет базис и изоморфно подходящему координатному (базисному) подпространству. В частности, декартовы произведения пространств Кёте – Фреше из разных классов Драгилева типа 0 и 1 обладают этим свойством.

Пространства ультрадифференцируемых функций и ультрараспределений. (1) Получены критерии для абсолютно представляющих систем в проективных пределах индуктивных пределов последовательностей банаховых пространств. С их помощью проведено детальное исследование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, задаваемых весовыми последовательностями общего вида. Установлены критерии для таких систем, изучен вопрос об их существовании, проведено построение систем с дополнительными свойствами, важными для приложений.

(2) Получены структурные теоремы для ультрараспределений в обобщенном подходе Берлинга – Бьорка. Найдена новая форма для теорем подобного типа, использующая представления ультрараспределений интегралами по мерам Радона. Показано, что классические структурные теоремы Л.Шварца, Ш.Румье, Х.Коматсу являются следствиями полученных на указанном пути результатов.

Теория операторов

Нерасширяющие операторы. Установлено, что в алгебре (классов эквивалентности) всех комплекснозначных измеримых функций над локально сепарабельным пространством с мерой имеются существенно нетривиальные комплексные дифференцирования и нерасширяющие автоморфизмы, отличные от тождественного.

Билинейные операторы. Установлено, что с каждой архимедовой векторной решеткой можно связать лишь один оператор – канонический ортосимметрический биморфизм, аналогичный операции умножения, все остальные ортосимметрические билинейные операторы, определенные на этой векторной решетке, представимы как суперпозиции линейных регулярных операторов с каноническим оператором. Используя этот факт, установлены теоремы о продолжении ортосимметрических операторов, а также мультипликативное представление ортосимметрических операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Операторы Урысона. Введен класс положительных латерально непрерывных операторов Урысона, сохраняющих порядковые интервалы, и приведены примеры таких операторов. Для пространств Банаха – Канторовича со смешанной нормой указан подкласс пространств, для которых все мажорируемые операторы, действующие в этих пространствах, являются непрерывными по норме. Введен новый класс нелинейных решеточных гомоморфизмов. Для этих операторов доказан аналог теоремы Мейера.

Интерполяция операторов. Построена двумерная шкала модулярных пространств Орлича измеримых по Лебегу функций, определяемых фундаментальными седловыми функциями. Проинтерполировано свойство непрерывности оператора, действующего в двумерной шкале модулярных пространств Орлича.

Рассмотрены основные свойства нелинейных операторов в функциональных пространствах Фреше, такие как: ограниченность, непрерывность, компактность. Определены L-характеристики нелинейных операторов суперпозиции Немыцкого в локально ограниченных пространствах измеримых функций.

Спектральная теория. (1) Исследовались симметрические операторы, порожденные в гильбертовом пространстве функций, суммируемых с квадратом модуля, линейной квазидифференциальной операцией произвольного порядка. Получено интегральное представление спектральных функций вышеуказанных операторов в случае плотной области определения. Построено спектральное разложение по собственным функциям симметричного квазидифференциального оператора. Найдена спектральная матрица-функция распределения самосопряженного плотно заданного симметрического квазидифференциального оператора. Получены оценки ранга спектральной матрицы-функции распределения квазидифференциального оператора и оценки кратности его спектра.

(2) Изучались свойства линейных топологических и борнологических пространств линейных операторов в локально выпуклых пространствах. Выделены классы операторов со сравнительно простыми спектральными свойствами, а именно: каждый такой оператор с точностью до диагонального оператора-сомножителя является оператором Рисса.

Случайные дифференциальные операторы. Получены результаты, относящиеся к теории существования случайных периодических и стационарных решений дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений в банаховом пространстве со случайными периодическими и стационарными возмущениями. Рассматриваются и уравнения с параметрами.

Дробные дифференциальные формы в евклидовом пространстве. (1) Построена теория дробных дифференциальных форм, обобщающая обычную теорию дифференциальных форм в евклидовом пространстве, с привлечением понятия дробного дифференциала. Введены соответствующие обобщения для внешнего дифференциала и дифференцируемых отображений и исследованы их основные свойства. (2) Найдено общее решение в замкнутом аналитическом виде для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка вида , где , на основе операторных методов теории операционного исчисления.

Интегральные преобразования на графе. Разработана общая схема применения конечного интегрального преобразования на геометрическом графе для решения задач математической физики.

Негладкий анализ

Чувствительность в задачах математического программирования. (1) Ис­сле­до­вана проблема чувствительности для экстремальных задач с ограничениями. Ис­сле­дованы условия накрываемости нелинейных отображений в окрестности анормальной точки.

(2) Получены асимптотические оценки функции минимума в экстремальных задачах с ограничениями типа равенств и неравенств, справедливые без априорных предположений нормальности ограничений. Получены достаточные условия накрываемости нелинейных отображений в окрестности анормальной точки. Эти результаты применены для описания касательного конуса для множества уровня нелинейного отображения.

Задачи оптимального восстановления функций и их производных. (1) Полу­чены оптимальные методы восстановления решения уравнения теплопроводности по различной информации о начальных данных, заданных неточно.

(2) Получены необходимые условия экстремума в бесконечномерной гладкой экстремальной задаче с ограничениями типа равенств, неравенств и включений.

(3) Доказан гладко-аппроксимативно-выпуклый принцип для экстремальных задач и в качестве следствий получены необходимые условия экстремума в задаче Лагранжа, задаче оптимального управления, задаче выпуклого программирования и др.

(4) Доказан ряд точных неравенств для производных аналитических функций.

Комплексный анализ

Пространства бесконечно дифференцируемых функций. (1) Развит общий метод, устанавливающий для произвольного пространства Фреше Н функций, бесконечно дифференцируемых в открытом множестве G Í Rp, равносильность трех фактов: наличие в Н хотя бы одной абсолютно представляющей системы экспонент с чисто мнимыми показателями; возможность реализации сильного сопряженного к Н пространства в виде индуктивного предела весовых банаховых пространств целых функций (т.е. справедливость для Н теоремы типа Пэли – Винера – Шварца); возможность продолжения из G в Rp всех функций из Н (с сохранением типа или класса пространства Н). Приведены примеры применения этого метода к конкретным пространствам.

(2) Показано, что необходимым условием справедливости аналога теоремы Уитни о продолжении в пространстве ультрадифференцируемых функций нормального типа является медленное изменение весовой функции, задающей это пространство. Полностью выяснены взаимоотношения между классами почти полуаддитивных сверху, полуаддитивных и медленно меняющихся весов с точки зрения широты семейств порождаемых ими пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа.

Краевые задачи. Получено решение однородной краевой задачи типа задачи Гильберта для единичного гиперконуса с краевым условием, содержащим частные производные искомых функций. В качестве математического аппарата при решении указанной задачи использованы классы аналитических функций, представимых интегралом специального вида в гиперконусе. Решение задачи сводится к решению особого интегрального уравнения с ядром Гильберта на остове гиперконуса.

Теория обобщенных аналитических функций класса Смирнова и ВМО. Получены основные свойства обобщенных аналитических функций класса Смирнова и класса ВМО. Рассмотрены нерегулярные краевые задачи и теоремы двойственности для Hp и BMO. Получен аналог теоремы Лиувилля для сингулярных систем типа Коши – Римана. Проведено вероятностное доказательство достаточных признаков выполнения теоремы Лиувилля для сингулярных систем типа Коши – Римана. Получены основные свойства обобщенных аналитических функций класса BMO. Проведено доказательство теорем двойственности для Hp и BMO.

Вычислительная математика и математическое моделирование

Численное моделирование прямой одномерной задачи упругости с памятью. Проведено исследование многомерной линеаризованной задачи для уравнений упругости с памятью, доказана корректность поставленной задачи для вертикально-неоднородной среды. Составлен алгоритм расчета интегро-дифференциального уравнения аналитико-численным методом в одномерном случае. Получены численные результаты для математической модели с затухающей функцией памяти методом последовательных приближений.

Математическая модель магматической камеры. Проведены оценки влияния по­то­ка тепла из атмосферы к поверхности земли на интенсивность тепловой аномалии, вызванной наличием приповерхностной магматической камеры. Для разной глубины магматической камеры определено пороговое значение этого потока тепла, при котором тепловую аномалию можно надежно обнаруживать с помощью космических снимков. Показано, что в Дарьяльском ущелье особенности орографии, влияющие на нагрев и охлаждение склонов излучением и турбулентный обмен теплом с атмосферой, значительно более существенно меняют температуру дна и стенок ущелья, чем поток тепла от магматической камеры и в этом ущелье дистанционное обнаружение тепловой аномалии, связанной с магматической камерой вулкана Казбек, затруднительно.

Рассмотрен процесс заполнения магмой трещины в земной коре в одномерной постановке с учетом наличия в потоке пузырьков газа и кристаллизации магмы. Показано, что в процессе заполнения в верхней части трещины формируется газовая подушка.

Численное исследование аэродинамики в уличном каньоне. Проведены расчеты концентрации загрязняющих веществ выбрасываемых автотранспортом в уличном каньоне при разной высоте домов по сторонам улицы. Показано, что в случае более низких домов на подветренной стороне улицы максимальная приземная концентрация загрязняющих веществ заметно возрастает.

Модель течения сыпучей среды. Усовершенствована модель течения сыпучей среды, что позволило получить хорошее совпадение расчетов с экспериментальными данными, полученными при движении полиэтиленовых шариков в цилиндрическом сосуде с вращающимся дном.

Применение квадратурных формул к вычислению сингулярных интегралов. Построены квадратурные формулы для сингулярных интегралов с весовыми функциями повышенной точности. Погрешность оценивается равномерно для любого значения параметра z сколь угодно близкого к контуру интегрирования.

Математическое моделирование внутренних гравитационных волн в пористых средах в приложении к нефтяной промышленности. Составлена математическая модель двухслойного волнового движения разноплотностных жидкостей в пористых средах в приложении к задачам нефтяной промышленности. В результате аналитического решения поставленной начально-краевой задачи получено расчетное выражение для амплитуды внутренней волны в пористых средах.

Построена математическая модель пространственного волнового движения воды, генерируемого волнопродуктором, в водохранилище. Решены начально-краевые задачи, моделирующие вышеотмеченные гидродинамические процессы. Получены расчетные выражения для управления гидродинамическими процессами в водохранилищах и в пористых средах.

Часть 3. Основные исследования и разработки, готовые к практическому применению

Большинство промышленных скоплений нефти состоит из насыщенного нефтью песка, ограниченного сверху непроницаемым пластом и песком, насыщенным водой, снизу. Когда нефтяная скважина проникает частично в нефтяную зону и начинается извлечение нефти, на поверхности раздела слоев нефть-вода образуются внутренние гравитационные волны, которые могут спровоцировать затекание воды в скважину.

Для обеспечения селективного нефтеотбора и предотвращения попадания воды в нефтяную скважину целесообразно установить функциональную зависимость амплитуды волн от расхода нефти через скважину, глубины проникновения скважины, мощности нефтяной и водной зон, проницаемости песка.

Поставлена начально-краевая задача и на ее основе получены расчетные формулы, позволяющие определить допустимую глубину проникновения нефтяной скважины и расхода извлекаемой нефти, при соблюдении которых обеспечивается устойчивый селективный нефтеотбор.


 
  | Новости | Общие сведения | Нормативные документы | Структура | Научная деятельность | Образовательная деятельность | Издательство | Библиотека | Вакансии |  
© 1999-2017 Южный математичкский институт, создание сайта - студия "Рувас".