Основные научные результаты, полученные в 2015 г.
 

Контакты

Адрес: Россия, 362027, Владикавказ,
ул. Маркуса, д. 22
Тел.: (8672) 53-21-00
E-mail: backoffice@smath.ru

 

Яндекс.Метрика

Основные научные результаты, полученные в 2015 г.

1. ВАЖНЕЙШИЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.1. Теоретическая математика (п. 1 ПФНИ 2013-2020)

Представлены некоторые приложения булевозначного анализа к теории операторов и гармоническому анализу. Рассмотрены псевдовложения, некоммутативная проблема Викстеда, теорема Радона–Никодима для JB-алгебр и теорема Бохнера для решеточнозначных положительно определенных отображений на локально компактных группах. (д.ф.-м.н. Кусраев А.Г.)

Разработан новый подход к исследованию определяющих множеств (sampling sets) в пространстве всех голоморфных функций полиномиального роста в шаре, основанный на привлечении слабо достаточных множеств для промежуточных индуктивных пределов. С его помощью получено полное топологическое описание таких множеств и, в качестве применений этого описания, установлен ряд новых свойств определяющих множеств общего и специального вида. (д.ф.-м.н. Абанин А.В.)

Изучены свойства алгебр Ли групп движений компактных однородных римановых пространств, допускающих векторные поля Киллинга постоянной длины. Получены важные результаты об строении таких алгебр Ли, в частности, о строении централизаторов полей Киллинга постоянной длины. Эти результаты являются чрезвычайно полезными для изучения алгебраического и топологического строения полной группы движений и группы изотропии компактных однородных римановых многообразий, допускающих киллинговы векторные поля постоянной длины. (д.ф.-м.н. Никоноров Ю.Г.)

На основе многочленов Чебышева построена новая система Ψ полиномов, ортонормированная относительно скалярного произведения типа Соболева. Исследованы вопросы сходимости ряда Фурье по данной системе. Для важных частных случаев систем этого типа получены явные представления, которые могут быть использованы при исследовании асимптотических свойств функций системы Ψ и при изучении аппроксимативных свойств сумм Фурье по этой системе. (д.ф.-м.н. Шарапудинов И.И., к.ф.-м.н. Магомед-Касумов М.Г.)

Для полной булевой алгебры B и числа 1≤p<∞ вводится класс (B,p)-суммирующих операторов из банаховой решетки в B-циклическое банахово пространство. Устанавливается теорема о факторизации для этого класса. (к.ф.-м.н. Тасоев Б.Б.) Установлена теорема Доддса – Фремлина – Викстеда для ортогонально аддитивных полиномов в банаховых решетках. Доказательство основано на теореме о линеаризации для указанного класса полиномов. (к.ф.-м.н. Кусраева З.А.)

Получены необходимое и достаточное условия положительности функции Грина многоточечной краевой задачи четвертого порядка и условия осцилляционности спектра многоточечной краевой задачи четвертого порядка. Показано, что условия осцилляционности функции Грина краевой задачи эквивалентны условиям ее положительности. Сформулирован критерий положительности функции Грина краевой задачи четвертого порядка на графе-цепочке. Установлена независимость знакопостоянства функции Грина задачи Дирихле от коэффициентов граничных условий. (к.ф.-м.н. Кулаев Р.Ч.)

1.2. Вычислительная математика (п. 2 ПФНИ 2013-2020)

В рамках линеаризованной модели Треффтца–Гузя рассмотрен класс задач об установившихся радиальных колебаниях трубы при наличии предварительного напряженного состояния и упругопластических зон. Осуществлен анализ влияния учета остаточных деформаций и напряжений на АЧХ и значения первых трех резонансных частот. На основе анализа свободных колебаний трубы с помощью асимптотического метода получена формула, связывающая изменения значений собственных частот колебаний и законы изменения компонент предварительного напряженного состояния и остаточных деформаций. Проведена оценка точности этой формулы для разных значений собственных частот колебаний, предложен способ определения уровня напряженного состояния и зон пластичности. (д.ф.-м.н. Ватульян А.О., к.ф.-м.н. Дударев В.В.)

Исследовано напряженно-деформированное состояние гофрированных оболочек вращения из функционально-градиентных материалов со сложной формой меридиана. Проведён анализ влияния геометрических параметров и законов градиентности на эффективную жесткость, получены асимптотические формулы для резонансных значений и собственных форм. Исследованы крутильные и продольно-изгибные колебания оболочек вращения с периодической структурой срединной поверхности. Оценено влияние геометрических параметров на первые собственные частоты. Проведено исследование устойчивости гофрированных оболочек вращения с помощью двух методов - метода пристрелки и метода Флоке-Ляпунова. (д.ф.-м.н. Устинов Ю.А.)

Рассмотрена первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в (n+1) – мерном прямом прямоугольном параллелепипеде с быстро осциллирующим по времени источником (свободным членом), представленным произведением двух функций, одна из которых зависит от времени, а вторая - от n-мерной пространственной переменной. Решены две задачи: прямая и обратная. Прямая состоит в построении асимптотики (асимптотическим параметром служит высокая частота осцилляций источника) решения указанной задачи при известном источнике, а обратная - в определении зависящего от времени сомножителя в представлении источника при известном втором сомножителе (зависящем от пространственной переменной) и заданной определенной дополнительной информации об асимптотике решения. (д.ф.-м.н. Левенштам В.Б.)

1.3. Математическое моделирование (п. 3 ПФНИ 2013-2020)

Представлена усовершенствованная математическая модель виброкипящего слоя на основе континуального подхода. Установлено, что течение газа между частицами в виброкипящем слое можно считать ламинарным и не использовать модель турбулентности. Выявлена классификация неустойчивых режимов виброкипения, приводящих к возникновению всплесков на поверхности виброкипящего слоя и фонтанирующих каналов, а также скошенной поверхности слоя с полным отрывом слоя от колеблющейся полки. (д.ф.-м.н. Каменецкий Е.С., к.т.н. Орлова Н.С., Волик М.В., Минасян Д.Г.)

1.4. Информационно-вычислительные системы и среды в науке и образовании (п. 7 ПФНИ 2013-2020гг.)

На основе наглядного моделирования и фундирования опыта личности разработаны модели практико-ориентированной и профессионально-ориентированной деятельности в изучении и обучении математике (с использованием информационно-коммуникационных технологий), адаптированные к условиям формирующейся в регионе информационно- насыщенной научно-образовательной среды, реализующей методологический принцип «исследование – обучение – внедрение». (д.пед.н. Е.И.Смирнов, к.пед.н. В.С.Абатурова, д.пед.н. И.Е.Малова, к.ф.-м.н. Дятлов В.Н., Макаренко М.Д.)

2. ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

2.1. Теоретическая математика (п. 1 ПФНИ 2013-2020гг.)

Операторы в векторных и банаховых решетках. Установлен булевозначный принцип переноса с AL-пространств на инъективные банаховы решетки. Как приложение получены изометрическая классификация и функциональное описание центрально атомических инъективных банаховых решеток. (д.ф.-м.н. Кусраев А.Г.)

Получена характеризация порядково ограниченных билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность, в терминах их ядер. (д.ф.-м.н. Кусраев А.Г.)

Доказано, что полином P с коэффициентами из унитарного архимедова f- кольца K представляется в виде суммы квадратов рациональных функций над полным кольцом частных кольца K, тогда и только тогда, когда P положителен на вещественном замыкании кольца K. (д.ф.-м.н. Кусраев А.Г.)

Для полной булевой алгебры B и вещественного числа p большего или равного единице определен новый класс (B,p)-суммирующих операторов из банаховой решетки в B-циклическое банахово пространство и установлена теорема о факторизации для этого класса операторов. (к.ф.-м.н. Тасоев Б.Б.)

Установлено, что универсально полная векторная решетка допускает нерасширяющую комплексную структуру тогда и только тогда, когда она не содержит локально одномерных полос. (к.ф.-м.н. Кусраева З.А.)

Для пары банаховых решеток найдены необходимые и достаточные условия, при которых справедлива теорема о компактной мажорации (положительный полином, имеющий компактную мажоранту, компактен) в классе однородных ортогонально аддитивных положителных полиномов. (к.ф.-м.н. Кусраева З.А.)

Доказана некоммутативная версия теоремы Радона-Никодима для вполне положительных, ковариантных относительно действия локально компактной группы, отображений, действующих в гильбертовых C*-модулях. (к.ф.-м.н. Плиев М.А.)

Доказана теорема о мажорации для положительного узкого абстрактного оператора Урысона следующей форме: узкость оператора влечет узкость всех операторов из порядкового идеала, порожденного исходным оператором. (к.ф.-м.н. Плиев М.А.)

Доказан аналог теоремы Доддса-Фремлина для АМ-компактных, абстрактных операторов Урысона. (к.ф.-м.н. Плиев М.А.)

Пространства гладких и аналитических функций. Установлено, что ряд предшествующих результатов других авторов об ограниченности операторов дифференцирования и интегрирования в пространствах голоморфных функций в круге или в плоскости, задаваемых радиальными весами, неверен без дополнительных ограничений на веса. В связи с этим развит новый подход к изучению подобных задач, который применим к весам и областям общего вида и позволяет получать законченные результаты. (д.ф-м.н. Абанин А.В.)

На основе вычисления главных интегралов, связанных с дзета-функцией Римана, сформулирована новая гипотеза, из которой вытекает справедливость гипотезы Римана о нулях дзета-функции. (д.ф-м.н. Коробейник Ю.Ф.)

Доказаны аналитические критерии цикличности относительно оператора типа Поммье функций, голоморфных в односвязной области комплексной плоскости, и целых функций экспоненциального типа. (д.ф.-м.н. Мелихов С.Н.)

Исследованы абсолютно сходящиеся ряды в пространствах ростков голоморфных функций многих комплексных переменных. Это позволило избавиться от предположений о росте показателей последовательностей экспонент, делавшихся ранее при изучении абсолютно представляющих систем экспонент. (д.ф.-м.н. Мелихов С.Н.)

Доказаны достаточные условия существования оператора решения для дифференциальных уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в пространствах функций, аналитических в невыпуклых областях комплексной плоскости. (д.ф.-м.н. Мелихов С.Н.)

Изучен Фурье-мультипликатор, вырождающийся или имеющий особенности на единичной сфере в . Получены необходимые и достаточные условия принадлежности этого мультипликатора классу Хермандера. (Гуров М.Н., к.ф.-м.н. Ногин В.А.)

Получены оценки для операторов типа потенциала, ядра которых имеют особенности на сфере и в начале координат и осциллируют на бесконечности. Эти оценки применены для обращения указанных потенциалов с -плотностями. (Гуров М.Н., к.ф.-м.н. Ногин В.А.)

Установлены легко проверяемые достаточные условия разрешимости неоднородного уравнения Коши – Римана в пространствах функций с системой равномерных весовых оценок. Эти же условия обеспечивают слабую приведенность соответствующего проективного пространства целых функций. Получены приложения указанных результатов к уравнениям свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций Румье, а также к задаче о порождающих весовых пространств целых функций. (к.ф.-м.н. Полякова Д.А.)

Комбинированные методы алгебры, анализа и математической логики. Доказана теорема «вложений», утверждающая, что всякая элементарная сеть вкладывается в промежуток между производной сетью и сетью, ассоциированной с элементарной группой. Доказана замкнутость элементарных сетей над полем частных области главных идеалов. Получен явный вид элементарных сетей над локально конечным полем. (д.ф.-м.н. Койбаев В.А.)

Получено разложение элементарной трансвекции в элементарной группе. Частично построена техника извлечения элементарных трансвекций в надгруппах нерасщепимого максимального тора. (д.ф.-м.н. Койбаев В.А.)

Решен важный частный случай классической проблемы об асимптотике спектра несамоспряженных теплицевых матриц. Получены асимптотические формулы для всех собственных значений симметрических несамосопряженных ленточных теплицевых матриц. Полученные формулы позволяют детально изучать структуру собственных значений, их расположение на комплексной плоскости и строить эффективные алгоритмы для их нахождения для матриц очень больших размеров. Получены также асимптотические формулы, имеющие более простой вид и справедливые для собственных значений с малыми, а также, отдельно, с очень большими номерами собственных значений. (к.ф.-м.н. Стукопин В.А.)

Получены асимптотические формулы для собственных векторов симметрических несамосопряжённых ленточных теплицевых матриц. Полученные формулы позволяют детально изучать структуру собственных векторов, расположение их компонент с каждым фиксированным номером на комплексной плоскости и строить эффективные алгоритмы для их нахождения для матриц очень больших размеров. Получены оценки снизу для числа компонент связности дополнения предельного спектра ленточных теплицевых матриц. (к.ф.-м.н. Стукопин В.А.)

Построен изоморфизм между пополнением квантового дубля янгиана специальной линейной супералгебры Ли и фактором квантовой аффинной супералгебры типа A по ее центру. (к.ф.-м.н. Стукопин В.А.)

Теория интерполяции операторов. Получены новые интерполяционные теоремы для линейных операторов, ограниченных на конусах в весовых пространствах числовых последовательностей. Такого рода результаты представляют значительный интерес для исследования базисов в дополняемых подпространствах ядерных пространств Фреше (проблема Пелчинского и родственные задачи). Ранее теорема об интерполяции была установлена в предположении вложенности пространств, образующих интерполяционную тройку, и некоторых условиях (ключевое из которых – свойство нижней полурешетки) на соответствующие вложенные в эти пространства конусы. В настоящее время аналогичный результат доказан для произвольной тройки весовых пространств при тех же условиях на вложенные конусы. (к.ф.-м.н. Каплицкий В.М.)

Дифференциальные операторы и краевые задачи. Построены примеры «патологических» решений равномерно эллиптического уравнения Бельтрами. Получены теоремы об изоморфности некоторых специальных интегродифференциальных операторов. (д.ф.-м.н. Климентов С.Б.)

Получены алгоритмически эффективные необходимое и достаточное условия положительности функции Грина многоточечной краевой задачи четвертого порядка и условия осцилляционности спектра многоточечной краевой задачи четвертого порядка. Показано, что условия осцилляционности функции Грина краевой задачи эквивалентны условиям ее положительности. В терминах свойства знакопостоянства решений однородного уравнения сформулирован критерий положительности функции Грина краевой задачи четвертого порядка на графе-цепочке. Установлена независимость знакопостоянства функции Грина задачи Дирихле от коэффициентов граничных условий. (к.ф.-м.н. Кулаев Р.Ч.)

Получены некоторые результаты в теории неосцилляции уравнений четвертого порядка на геометрическом графе, возникающих при моделировании стержневых конструкций. Определение неосцилляции уравнения дается в терминах свойств специальной фундаментальной системы решений однородного уравнения. Установлена связь свойства неосцилляции со свойством положительности функции Грина некоторых классов краевых задач для уравнения четвертого порядка на графе. (к.ф.-м.н. Кулаев Р.Ч.)

Изучена задача о волнах в предварительно напряженном цилиндрическом волноводе. Задача сведена к исследованию квадратичного спектрального пучка с двумя спектральными параметрами, порожденного обыкновенным дифференциальным оператором с переменными коэффициентами. Требование существования нетривиальных решений пучка дает дисперсионные соотношения, связывающие спектральные параметры. Изучены некоторые топологические свойства дисперсионных соотношений, осуществлено разделение компонент на три семейства, порожденными различными типами решений, нулевым значением одного из параметров. На основе асимптотического метода изучена структура дисперсионного множества, в окрестности начала координат. (д.ф.-м.н. Ватульян А.О.)

Для решения задачи Коши для квазилинейных параболических систем второго порядка установлены оптимальные по временным и пространственным переменным оценки решения. Кроме того, установлено свойство конечной скорости распространения возмущении и дана точная оценка радиуса носителя. Рассматриваемые решения моделируют в частности процессы сверхпроводимости. Аналогичные результаты получены для решения задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений на некомпактных римановых многообразиях. Для вырождающихся параболических уравнений с переменными коэффициентами получено асимптотическое представление при больших значениях времени. (д.ф.-м.н. Тедеев А.Ф.)

Для пучка обыкновенных линейных дифференциальных операторов n-го порядка с различными характеристическими корнями установлены необходимое условие регулярности соответствующей краевой задачи и алгебраические условия базисности и полноты корневых элементов пучка. (д.ф.-м.н. Вагабов А.И.)

Рассмотрены абстрактные параболические уравнения, в правых частях которых линейный неограниченный оператор A и подчиненная ему быстро осциллирующая по времени нелинейность f, обладающая средним по «быстрому времени» s. Будем считать, что f почти периодична по s с нулевым средним и уравнение имеет нулевое решение. В этом случае спектр A не содержит чисто мнимых точек. При определенных дополнительных условиях доказано существование в окрестности нуля (фазового пространства) двух инвариантных многообразий, которые зависят от частоты и начального момента времени t и определяют экспоненциально убывающие при t→+∞ и, соответственно, t→-∞, решения. Установлен ряд иных свойств указанных многообразий. (д.ф.-м.н. Левенштам В.Б.)

Рассмотрена первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в (n+1)-мерном прямом прямоугольном параллелепипеде с быстро осциллирующим по времени источником, представленным произведением двух функций, одна из которых зависит от времени, а вторая – от n-мерной пространственной переменной. Решены две задачи: прямая и обратная. Прямая состоит в построении асимптотики решения указанной задачи при известном источнике, а обратная – в определении зависящего от времени сомножителя в представлении источника при известном втором сомножителе (зависящем от пространственной переменной) и заданной определенной дополнительной информации о двучленной асимптотике решения. (д.ф.-м.н. Левенштам В.Б.)

Выпуклый анализ и теория оптимизации. Построено семейство оптимальных методов восстановления функций и их производных, принадлежащих алгебраической сумме соболевского класса функций на прямой и некоторого пространства целых функций экспоненциального типа. Среди этих методов выделены те, которые оптимальны на соболевском классе и точны на соответствующем пространстве целых функций. Оптимальные методы используют лишь полезную информацию, объем которой, как правило, значительно меньше информации, доступной для измерения. (д.ф.-м.н. Магарил-Ильяев Г.Г., д.ф.-м.н. Осипенко К.Ю.)

Получено решение в задаче восстановления оператора мультипликаторного типа на классах, задаваемых весовой неевклидовой нормой, когда погрешность задания исходной неточной информации и погрешность восстановления измеряется также в весовых неевклидовых нормах. Для случая, когда веса, задающие норму, являются однородными функциями, найдены явные выражения для погрешности восстановления и оптимальных методов. В качестве следствия найдено решение задачи об оптимальном восстановлении сигналов по неточно заданному спектру, когда все метрики различны. Кроме того, еще одним следствием является ряд результатов, касающихся точных многомерных неравенств типа Карлсона. (д.ф.-м.н. Осипенко К.Ю.)

Построены оптимальные методы восстановления периодических функций по известному (точно или приближённо) конечному набору их коэффициентов Фурье. Предлагаемый подход к построению таких методов сравнивается с подходом к решению подобных задач, основанным на методе регуляризации по А.Н. Тихонову. (д.ф.-м.н. Магарил-Ильяев Г.Г., д.ф.-м.н. Осипенко К.Ю.)

Получены оценки расстояния от заданной точки до множества решений системы строгих и нестрогих неравенств, описываемых выпуклыми функциями. В качестве следствий получены оценки расстояния от заданной точки до множества Лебега выпуклой функции, а также достаточные условия накрываемости выпуклозначных многозначных отображений. (д.ф.-м.н. Арутюнов А.В.)

Получено доказательство необходимых условий минимума (принцип максимума Понтрягина) в задаче оптимального управления с измеримыми управлениями и с ограничениями типа равенств и неравенств на основе обобщенной теоремы о неявной функции и теоремы о разрешимости конечномерной системы нелинейных уравнений, использующей теорему Брауэра о неподвижной точке. (д.ф.-м.н. Магарил-Ильяев Г.Г.)

Исследована взаимосвязь необходимых условий минимума в общей задаче оптимального управления, необходимых условий минимума в соответствующей релаксационной (ослабленной) задаче и достаточных условий управляемости управляемой системы, задающей ограничения в исходной задаче. Рассмотрения ведутся для абстрактной экстремальной задачи, но моделирующей основные свойства классической задачи оптимального управления. (д.ф.-м.н. Магарил-Ильяев Г.Г.)

Получены условия (в частности, условия Каристи), гарантирующие, что на полном метрическом пространстве ограниченная снизу функция достигает своей нижней грани. Эти результаты применены к исследованию существования точки совпадения двух отображений, действующих из одного метрического пространства в другое. При этом, рассмотрены как однозначные, так и многозначные отображения, одно из которых является накрывающим, а другое липшицевым. Исследован также вырожденный случай, который включает в себя, в частности, обобщенно сжимающие отображения. (д.ф.-м.н. Арутюнов А.В.)

В окрестности особой точки отображения банаховых пространств доказана обобщенная теорема об обратной функции. В качестве следствий из этой теоремы получены теоремы об обратной функции, о поправке и о касательном конусе, являющиеся развитием и усилением соответствующих классических результатов в нерегулярном случае. С помощью полученных следствий доказаны необходимые условия экстремума, содержательные для анормальных задач. (д.ф.-м.н. Арутюнов А.В.)

Теория приближений. Рассмотрены полиномы, ортогональные в смысле Соболева на равномерной сетке, порожденные полиномами Чебышева, ортогональными на равномерной сетке. Получен явный вид этих полиномов, удобный для изучения их асимптотических свойств. (Шарапудинов Т.И.)

Исследованы аппроксимативные свойства операторов Фейера и Валле-Пуссена частичных сумм специального ряда по ультрасферическим полиномам Якоби с α=1/2. В частности показано, что эти операторы и равномерно ограничены в пространстве 2π- периодических непрерывных функций. (д.ф.-м.н. Шарапудинов И.И.)

Разработаны некоторые численно-аналитические методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений посредством специальных рядов по ортогональным полиномам. (д.ф.-м.н. Шарапудинов И.И., Шах-Эмиров Т.Н.)

Анализ на многообразиях. Изучена эволюция инвариантных римановых метрик на пространствах Уоллаха относительно нормализованного потока Риччи. Доказано, что для 12-мерного и 24-мерного пространств Уоллаха произвольная инвариантная метрика общего положения (включая метрики положительной секционной кривизны) эволюционирует в метрику со знаконеопределенной кривизной Риччи. (д.ф.-м.н. Никоноров Ю.Г. совместно с Абиевым Н.А. (ТарГУ, Казахстан)).

Математическая гидродинамика. Исследованы новые задачи устойчивости и бифуркаций в моделях точечных вихрей математической гидродинамики для баротропной жидкости. Рассмотрена задача устойчивости системы одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного N-угольника (N = 2,…,6) внутри круговой области. Потенциал взаимодействия между вихрями обратно пропорционален расстоянию между ними. Такое предположение о потенциале сделали Дж. Томсон при построении одной из своих моделей атома и В.М. Гряник при построении модели вращающейся бароклинной жидкости в квазигеострофическом приближении. Случай логарифмического потенциала вихревого взаимодействия разобран в наших предыдущих работах. Аналитически исследованы квадратичная часть гамильтониана и собственные значения матрицы линеаризации. Получены условия устойчивости по Раусу и экспоненциальной неустойчивости. Указаны значения параметров, требующие дополнительного нелинейного анализа. Перечислены и исследованы численно все резонансы до четвертого порядка включительно, возникающие в задаче. В двух из них численно обнаружена неустойчивость. Результаты теоретического анализа подтверждаются численным расчетом траекторий точечных вихрей. (д.ф.-м.н. Куракин Л.Г.)

Построен предел колебательной неустойчивости течений куэттовского типа между соосными проницаемыми цилиндрами при стремлении к бесконечности радиального числа Рейнольдса. Такую неустойчивость обнаружили Fujita, Morimoto, Okamoto, (1997) для конечных чисел Рейнольдса; позднее Gallet, Doering, Spiegel, (2010) рассмотрели предел узкого зазора. В обеих работах обсуждались плоские возмущения. Нами исследован общий случай, и, установлено, что, в отличии от неустойчивости Тэйлора–Куэтта, предельная «невязкая» неустойчивость всегда колебательная, а неустойчивая мода – неосесимметричная, причём плоские моды наиболее «опасны». Примечательно, что устойчивость и неустойчивость слабо зависят от вращения выхода потока, и существенно – от входа, вопреки мнению об ослаблении влияния входа вниз по течению. (к.ф.-м.н. Моргулис А.Б.)

Доказано, что при определённых типах граничных условий стационарная задача протекания не имеет стационарного решения, описывающего течение без точек покоя. Необходимые условия существования таких течений выражены явно, в терминах данных задачи. Из нарушения этих условий вытекает неизбежность аккумуляции завихренности в локализованных вихревых ядрах при определённых режимах нагнетания завихренной жидкости в конечный канал. (к.ф.-м.н. Моргулис А.Б.)

Исследование для системы Навье – Стокса во внешней области вопросов существования гладких семейств устойчивых стационарных решений. Рассмотрен вопрос об устойчивости ограниченных по времени решениях системы Навье – Стокса во всем пространстве Rn (n > 2). Предварительно рассмотрен вопрос об их существовании. (д.ф.- м.н. Сазонов Л.И.)

Построена длинноволновая асимптотика задачи устойчивости для течения Колмогорова и его модификаций в случае, когда среднее вдоль «длинного» периода равно нулю. Выведены условия монотонной и колебательной потери устойчивости для основных течений обладающих различными вырождениями. Получены рекуррентные формулы общего члена асимптотики. Для течений, близких к параллельным, получены формулы для первых членов асимптотики, позволяющие обобщить результаты, полученные ранее для сдвиговых течений. (к.ф.-м.н. Ревина С.В.)

Проводилось аналитическое исследование влияния особенностей нижней границы области течения на ламинарный поток. Исследовалось возмущение, вносимое в поток жидкости обтеканием соответствующего профиля. Было получено частное решение линеаризованной системы уравнений Навье–Стокса и проанализировано его поведение вблизи границ области. (Пантилеев Д.Г.)

2.2. Вычислительная математика (п. 2 ПФНИ 2013-2020гг.)

Квадратурные формулы для сингулярных интегралов. Построены новые квадратурные формулы интерполяционного типа почти гауссовской алгебраической степени точности для сингулярных интегралов с весовой функцией. Построены квадратурные формулы для сингулярных интегралов с равными коэффициентами. Построены вычислительные схемы для численного решения гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода и приближенного решения сингулярного интегрального уравнения первого рода с использованием рядов Чебышева. Получены спектральные соотношения для гиперсингулярных интегралов на отрезке интегрирования с весовыми функциями. Построены квадратурные формулы для гиперсингулярных интегралов на отрезке интегрирования с весовыми функциями. (д.ф.-м.н. Хубежты Ш.С., Плиева Л.Ю.)

2.3. Математическое моделирование (п. 3 ПФНИ 2013-2020гг.)

Математическое моделирование прикладных задач. С использованием ранее разработанной методики расчета температурного поля проведены расчеты распределения температуры на поверхности сыпучего материала. На основе результатов расчетов определены рекомендуемые параметры конструкции барабанного агрегата горячего окомкования, в частности число горелок и расстояние между ними. (к.т.н. Орлова Н.С.)

Получены уравнения описывающие динамику вихревого адиабатического возмущения в идеальной сжимаемой жидкости. Найденные решения показывают возникновение «глаза» вихря, резкой внутренней стенки вихря и более пологой внешней границы вихря. Константы аналитического решения показывают, что только вихри с размером «глаза» более 1,5 метров имеют дозвуковые скорости вращения. В линейном случае проанализировано влияние стратификации фонового инверсионного слоя атмосферы на динамику вихря. Показано, что в слоях с положительным значением второй производной температуры инверсии, вихревые возмущения экспоненциально растут во времени. (к.т.н. Радионов А.А.)

Представлено решение нелинейного уравнения влагопроницаемости с учетом анизотропности влагопереноса в многофазных увлажняемых массивах. Анализ приведенных в работе результатов решения поставленной задачи позволил выявить характерные особенности процесса влагопроницаемости, которые имеют место в многофазной грунтовой среде с учетом структурных разновидностей поровой жидкости. Исследования показали, что образование фронта смачивания обусловлено не только увлажнением грунтовой среды, но и адсорбцией и конденсацией водяных паров. (к.т.н. Тедеев Т.Р.)

Проведено моделирование движения измельчающего материала в центробежной мельнице вертикального типа, использующее аппарат молекулярной динамики. Показано, что при больших скоростях характер движения материала согласно этой модели и модели, основанной на уравнениях гидродинамики, одинаков. В наиболее интересной области мельницы – над ребрами ротора обе модели дают не только качественно, но и количественно совпадающие результаты. (Минасян Д.Г.)

Исследовано влияние изменения коэффициента вязкости и проскальзывания измельчаемого материала не стенках на картину его течения в центробежной мельнице вертикального типа. Показано, что проскальзывание оказывает существенное влияние только в случае мельниц с вставками в виде коаксиальных колец. Для других конструктивных исполнений мельницы влияние проскальзывания невелико и заметно только в ближней окрестности стенок. Увеличение коэффициента вязкости более существенно влияет на картину движения. (Минасян Д.Г.)

Предложена математическая модель, описывающая влияние миграции из сел в города на напряженность общества. Модель учитывает как повышенную напряженность мигрантов, так и их воздействие на напряженность принимающего населения. Показано, что значительные миграционные потоки в 60-е и 70-е годы объясняют рост напряженности в СССР наблюдавшийся несмотря на рост экономики страны. Значительное уменьшение миграции в середине 80-х привело к падению напряженности общества. (д.ф.-м.н. Каменецкий Е.С., к.ф.-м.н. Басаева Е.К., Хосаева З.Х. (ВНЦ РАН))

Создана математическая модель взаимодействия правящей элиты и трудящихся, согласно которой, при определенных значениях управляющего параметра — изменения экономического состояния, возникает катастрофа складки, связанная с переходом системы от состояния с несколькими стационарными точками к состоянию с одной стационарной точкой. Критическое значение управляющего параметра зависит от внутренней тенденции трудящихся к ослаблению или усилению воздействия элиты. (д.ф.-м.н. Каменецкий Е.С., к.ф.-м.н. Басаева Е.К., Хосаева З.Х. (ВНЦ РАН))

2.4. Информационно-вычислительные системы и среды в науке и образовании (п. 7 ПФНИ 2013-2020гг.)

Проектирование инновационной деятельности в изучении и обучении математике. Разработана дидактическая модель инновационной деятельности обучающихся (школьников, студентов, учителей) по освоению интегративного содержания математики как педагогической задачи. Показано, что в контексте интеграции математических, естественнонаучных и информационных знаний фундирование опыта личности особенно актуально в развитии мотивационной сферы, метакогнитивного опыта, процессов самоактуализации и самореализации личности. (д.пед.н. Смирнов Е.И., д.пед.н. Малова И.Е., к.пед.н. Абатурова В.С.).

Разработан инновационный учебный курс единой математики на основе развертывания кластеров фундирования математических знаний в ходе исследовательской деятельности будущих учителей математики. (д.пед.н. Смирнов Е.И.).

Разработаны методики формирования гибкости мышления студентов, связанные с алгоритмами (в среде MathCad, с использованием кластера, с помощью программирования), предназначенными для построения множеств Жюлиа на комплексной плоскости. (д.пед.н. Смирнов Е.И.).

Выявлен ряд этапов развертывания фундирующих процедур перехода от наличного состояния сущности и ее актуального представления к обобщенному потенциальному развитию сущности в форме идеального объекта: мотивационный; ориентировочно- информационной насыщенности; процессуально - деятельностный; контрольно - коррекционный. Доказано, что фундирующие процедуры в контексте интеграции математических, естественнонаучных и информационных знаний, являются многоэтапными, полифункциональными, направленными и интегративными по актуализации внутренних и межпредметных связей элементов. (д.пед.н. Смирнов Е.И., д.пед.н. Малова И.Е., к.пед.н. Абатурова В.С., к.ф.-м.н. Дятлов В.Н., Макаренко М.Д.).

Исследованы вопросы использования математических доказательств, представленных в школьных учебниках, как объектов изучения. Предложено три предмета изучения математических доказательств: структура доказательства и его теоретические основы; методы, способы и приемы доказательства; обобщенные способы доказательства (д.пед.н. Малова И.Е.).

Разработана архитектура комплексной системы поддержки дистанционных олимпиад, содержащей Web-сервис, мобильные приложения и desktop (к.пед. н. Абатурова В.С., Макаренко М.Д., Гозоева И.Х.).

Разработан и готов к внедрению инновационный пилотный проект развертывания в научно-образовательной среде региона кластеров развития по направлениям: психодиагностическая и методическая культура педагога; новое в математике с приложениями; интеллектуальные игры (шахматы, го, жипто), информационно- коммуникационные технологии и средства. (д.пед.н. Смирнов Е.И., д.пед.н. Малова И.Е., к.пед.н. Абатурова В.С., к.ф.-м.н. Дятлов В.Н., Макаренко М.Д.).

Разработана и внедрена методика обучения робототехнике в ходе моделирования процесса проведения горно-спасательных работ робототехническими системами с использованием трехмерной учебной модели горного ландшафта региона. (к.пед.н. Абатурова В.С., Макаренко М.Д.)

2.5. Механика деформирования и разрушения материалов, сред, изделий, конструкций, сооружений и триботехнических систем при механических нагрузках, воздействии физических полей и химически активных сред (п. 23 ПФНИ 2013-2020)

Задачи теории упругости. Рассмотрены задачи об изгибных колебаниях функционально-градиентного стержня с зоной деструкции, моделируемой эллиптическим включением с измененными характеристиками. В случае малых характерных размеров на основе метода возмущений получены приближенные формулы для расчета поправок к резонансным значениям. На основе этих формул предложена схема поэтапного восстановления геометрических и физических характеристик включения по изменению резонансных значений. (д.ф.-м.н. Ватульян А.О.)

Для существенно неоднородной круговой упругой пластины, защемлённой по контуру, исследована задача об установившихся колебаниях. С использованием гипотез Кирхгофа-Лява и вариационного принципа Гамильтона-Остроградского с учетом допущения о зависимости цилиндрической жесткости только от радиальной координаты сформулированы уравнение колебаний и граничные условия для неоднородной упругой пластины, отличающиеся от известных тем, что они в явном виде не содержат производных от цилиндрической жесткости и могут быть использованы при анализе колебаний неоднородных пластин с кусочно-непрерывной жесткостью. Проведено исследование влияния цилиндрической жесткости на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ). (д.ф.-м.н. Ватульян А.О., к.ф.-м.н. Явруян О.В.)

Сформулирована постановка задачи о колебаниях функционально-градиентного стержня при наличии сложного неоднородного предварительного напряжённого состояния, характеризуемого компонентами тензора предварительных напряжений, начальным прогибом и начальным продольным смещением. Прямая задача решена численно с помощью метода конечных элементов и проанализировано для различных случаев распределения предварительных напряженных состояний и неоднородности материальных свойств. Исследовано влияния уровней различных типов предварительных напряжений на АЧХ точек области. Разработан подход к реконструкции неоднородных одноосных предварительных напряжений в стержне с заданным функционально- градиентным переходом с помощью акустического зондирования нагрузкой, приложенной к концу стержня. Получена формула для расчета неизвестной функции предварительного напряжения по измеренных данным о поле прогибов стержня. Результаты вычислительных экспериментов позволяют сделать вывод о достаточной эффективности предложенных подходов. (к.ф.-м.н. Недин Р.Д.)

Разработаны методы идентификации неоднородного предварительного напряжённого состояния в термоупругих телах и функционально-градиентных стержнях, метод идентификации функции жёсткости в существенно неоднородных пластинах. На основе подхода, предложенного Треффтцем Э. и развитого Гузем А. Н., получены уравнения термоупругости для предварительно-напряженных тел. Опираясь на линеаризованную модель термоупругости, получена слабая постановка прямой задачи термоупругости в трансформантах по Лапласу, на основе которой возможно построить итерационный процесс решения нелинейной обратной задачи. Решена плоская задача о радиальных колебаниях неоднородного предварительно напряженного термоупругого цилиндра под действием равномерно распределенной нагрузки, приложенной на внешней поверхности. Внутренняя поверхность цилиндра теплоизолирована и свободна от напряжений. Проведено исследование влияния уровня начального напряжения и предварительного нагрева, а также различных типов неоднородности начального состояния на граничные физические поля цилиндра. При решении обратной задачи определены наиболее информативные временные интервалы для измерения входной информации. Проведены вычислительные эксперименты по восстановлению функций различных типов. (д.ф.-м.н. Ватульян А.О., к.ф.-м.н. Недин Р.Д.)

Исследована обратная коэффициентная задача идентификации свойств неоднородной изотропной дискообразной области в случае крутильных и радиальных колебаний. Построена итерационная схема восстановления неоднородных свойств на основе метода линеаризации, получены интегральные уравнения Фредгольма второго рода относительно поправок неизвестных функций к их начальным приближениям. (к.ф.- м.н. Явруян О.В.)

Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях функционально-градиентного полого цилиндра. При помощи преобразования Фурье задача сведена к краевой задаче для канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений, неизвестными в которой являются компоненты перемещений и напряжений. Построенная система может быть использована для исследования крутильных, продольных и изгибных колебаний. Представлены результаты расчета волновых полей. Построено интегральное уравнение для отыскания функций, описывающих изменение плотности и модуля сдвига в случае крутильных колебаний. (к.ф.-м.н. Углич П.С.)

Рассмотрена задача об установившихся радиальных колебаниях упругой трубы при наличии предварительного напряженного состояния. Исследование проведено в рамках линеаризованной модели Треффтца–Гузя. Осуществлен анализ влияния учета остаточных деформаций и напряжений на АЧХ и значения первых трех резонансных частот. Законы изменения, описывающие предварительные напряженное состояние, соответствуют напряженному состоянию трубы, подвергшейся действию внутреннего давления с образованием пластической области и последующей разгрузкой. На основе анализа свободных колебаний трубы с помощью метода линеаризации получена формула, связывающая изменения значений собственных частот колебаний и законы изменения компонент предварительного напряженного состояния и остаточных деформаций. Проведена оценка точности этой формулы для разных значений собственных частот колебаний. (к.ф.-м.н. Дударев В.В.)

Исследовано напряженно-деформированное состояние оболочек вращения из функционально-градиентных материалов со сложной формой меридиана, находящихся под действием одной из нагрузок: кручение, растяжение-сжатие, гидростатическое давление. Проведён анализ влияния геометрических параметров и законов градиентности на эффективную жесткость. Получены асимптотические формулы для резонансных значений и собственных форм гофрированных оболочек. Исследованы крутильные и продольно-изгибные колебания оболочек вращения с периодической структурой срединной поверхности. Оценено влияние геометрических параметров на первые собственные частоты. Проведён асимптотический анализ поставленных задач и определены диапазоны параметров, в которых формулы дают погрешность порядка 1%. Проведено исследование устойчивости гофрированных оболочек вращения с помощью двух методов – метода пристрелки и метода Флоке–Ляпунова. (д.ф.-м.н. Устинов Ю.А.)

Изучена задача о чистом изгибе нелинейно-упругой панели прямоугольного поперечного сечения, неоднородной по толщине. Рассмотрены два типа неоднородностей – линейная и экспоненциальная, при этом более жестким может быть как внешняя, так и внутренняя сторона бруса. Для описания механических свойств материалов при больших деформациях использованы общеупотребительные модели сжимаемых нелинейно- упругих сред. В двумерной постановке задача сведена к исследованию краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведен анализ влияния неоднородности на диаграмму нагружения панели и устойчивость панели при изгибе. Установлено, в частности, что для панели с более мягким внутренним слоем точки бифуркации находятся на диаграмме изгиба левее точки максимума. (д.ф.-м.н. Карякин М.И.)

2.6. Механика природных процессов (п. 25 ПФНИ 2013-2020 гг.)

Гидроаэродинамика. Составлена математическая модель сейсмических колебаний системы, состоящей из дамбы обвалования хвостохранилища, хвостов и слоев грунтовой толщи под подошвой дамбы. Модель представляет контактную краевую задачу для трех дифференциальных уравнений поперечных сдвиговых колебаний тела дамбы с хвостами и двух подподошвенных слоев грунтовой толщи с разными физико-механическими и мощностными характеристиками. (д.т.н. Музаев И.Д.)

В явном виде получены расчетные формулы для вычисления относительных амплитуд перемещений, скоростей и ускорений тела дамбы от ее высоты и от частоты сейсмических колебаний местности. Полученные теоретические результаты позволяют на стадии проектирования хвостохранилища так подобрать габаритные размеры ограждающей хранилища дамбы, чтобы при сейсмических ситуациях ускорения и смещения тела дамбы не превышали предельно допустимые значения. (д.т.н. Музаев И.Д.)

Проводилось математическое моделирование аэродинамики улиц разной конфигурации в двумерном и квазитрехмерном приближении. Разработан собственный решатель, который позволяет моделировать распространение загрязняющих веществ в городской застройке. Проведена серия вычислительных экспериментов по исследованию распространения загрязняющих веществ внутри улиц и в следе за застройкой. В качестве источников загрязнений выступали автомобили внутри улиц, дымоходные трубы на крыше первого по счету дома, аварийный выброс на входе в расчетную область. Исследовалось проветривание расчетной области после прекращения работы источника загрязнений. (Волик М.В.)

Получены уравнения описывающие возникновение ночного низкоуровневого струйного течения (НСТ) в идеальной сжимаемой адиабатической атмосфере. Показано, что помимо влияния силы Кориолиса, возникновение НСТ обусловливается значением второй производной температуры в пределах приподнятой инверсии. В слоях с положительным значением этой производной возмущения плотности возрастают экспоненциально с высотой, а соответствующие возмущения скорости растут пропорционально времени, возмущению плотности и геострофическому перепаду давления. (к.т.н. Радионов А.А.)


 
  | Новости | Общие сведения | Нормативные документы | Структура | Научная деятельность | Образовательная деятельность | Издательство | Библиотека | Вакансии |  
© 1999-2017 Южный математичкский институт, создание сайта - студия "Рувас".