28 апреля 2023 года на базе Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета (Ростов-на-Дону) состоялась работа дополнительного дня работы Международного воркшопа «OTHA Spring 2023». 

Основная часть работы воркшопа проходила в период с 18 по 22 апреля 2023 года в г. Ереван (Армения) в Институте математики Национальной академии наук Республики Армения (далее - ИМ НАН РА). Воркшоп был посвящен 80-летию Национальной академии наук Армении и прошел в очном формате. 

Организаторами мероприятия выступили Региональный научно-образовательный математический центр Южного Федерального университета (далее – РНОМЦ ЮФУ) (г. Ростов-на-Дону) и Институт математики Национальной академии наук Республики Армения (г. Ереван, Армения). Сопредседатели оргкомитета: директор РНОМЦ ЮФУ, д.ф.-м.н.. профессор А.Н. Карапетянц и директор ИМ НАН РА, д.ф.-м.н. Р.Г. Арамян. 

Мероприятие является частью серии международных научных конференций «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа, и их приложения» (OTHA – Operator Theory and Harmonic Analysis). Воркшопы проводятся с 2020 года дважды в год – весной и осенью. В работе воркшопа с пленарными докладами выступило шестеро научных сотрудников отдела дифференциальных уравнений Южного математического института ВНЦ РАН (далее – отдел). 

Совместный доклад заведующего отделом дифференциальных уравнений ЮМИ ВНЦ РАН, д.ф.-м.н., профессора Ватульяна Александра Ованесовича и старшего научного сотрудника отдела, д.ф.-м.н. Явруян Оксаны Вячеславовны назывался «Постановка и исследование краевых задач в рамках градиентных моделей». В докладе были представлены основные модели и соотношения градиентной теории упругости (ГТУ) и термоупругости, изложены наиболее эффективные методы исследования краевых задач ГТУ, отмечены особенности, возникающие при использовании уточненных моделей ГТУ, которые приводят к дифференциальным операторам более высокого порядка с малым параметром при старшей производной. Продемонстрированы решения для модельных задач - задача для полосы с отслоением, задача о растяжении составного стержня, а также задача для неоднородного цилиндра - которые были исследованы в рамках однопараметрической модели Айфантиса. Для каждой из задач были представлены выводы о влиянии градиентных эффектов на структуру решений, особенно в окрестности множеств разрыва граничных условий. 

Ведущий научный сотрудник отдела, д.ф.-м.н. Моргулис Андрей Борисович выступил с докладом на тему «Акустический ветер в гиперболической системе хищник-жертва». В докладе рассматривалась гиперболическая система, описывающая взаимодейстиве вида "хищников", преследующих "жертв", перемещающихся чисто диффузионно. Для описания транспорта использовалась модель типа Каттанео. Ввидугиперболичности, долгоживущие коротковолновые узоры возникают при достаточно слабой диффузии добычи. Основной результат состоит в том, что нелинейное взаимодействие коротких волн в случае общего положения возбуждает медленно растущую амплитудную модуляцию для широких диапазонов параметров модели. Однако, существует узкий класс зависимостей между коэффициентами диффузии и тактической чувствительности хищников, в котором этого не происходит. Интересно, что именно эта взаимосвязь была введена в предыдущих исследованиях мелкомасштабных мозаик в пространственном распределении некоторых реальных популяций. 

Ведущий научный сотрудник отдела, д.ф.-м.н. Куракин Леонид Геннадиевич выступил с докладом на тему «Об устойчивости вихревого N–угольника Томсона в различных моделях точечных вихрей». В докладе рассматривались три модели точечных вихрей: уравнения Кирхгофа, вихри Бесселя и двухслойная квазигеострофическая модель. Для всех этих моделей был проведен обзор результатов, в том числе авторских, по проблеме устойчивости стационарного вращения N–угольника Томсона — системы из N одинаковых точечных вихрей, равномерно лежащих на окружности радиуса R. Наиболее подробно была рассмотрена модель идентичных точечных вихрей в двухслойной жидкости. Задача имеет три параметра: N, yR и β, где масштаб длины равен 1⁄(Γ>0), а β - отношение толщин слоев жидкости. Стабильность стационарного вращения интерпретируется как орбитальная стабильность. Нестабильность стационарного вращения - это нестабильность приведенного равновесия системы. Изучалась квадратичная часть гамильтониана и собственные значения матрицы линеаризации. Пространство параметров (N,yR, β) разделено на три части: A - область устойчивости в точной нелинейной постановке, B - область линейной устойчивости, где проблема устойчивости требует нелинейного анализа, и C - область нестабильности. Случай A имеет место при N=2,3,4 для всех возможных значений параметров yR и β. В случае N=5 у нас есть две области: A и B. В случае N=6 часть B представляет собой кривую, которая делит пространство параметров yR, β на области: A и C. В случае N=7 существуют все три домена: A, B и C. Область нестабильности C. имеет место всегда, если N=2N≥8. В случае N=2L≥9 существуют две области: B и C. 

Ведущий научный сотрудник отдела, д.ф.-м.н. Жуков Михаил Юрьевич выступил с докладом на тему «Варианты метода годографа для казилинейных перболических и эллиптических уравнений в частных производных первого порядка». В докладе сравнивались варианты метода годографа для решения систем квазилинейных гиперболических и эллиптических уравнений – классический метод, обобщенный метод и метод на основе закона сохранения. Показано, что методы являются эквивалентными, хотя и приводят к отличным личным линейным уравнениям в производных второго порядка с переменными коэффициентами, для которых функции Римана—Грина различны. Утверждается, что метод на основе сохранения наиболее практичен, так как по сравнению с другими методами позволяет получить больше информации о поведении решения. Построена модификация метода, дающая возможность решать начальную и начально-краевую задачи, на основе построений только для начальной задачи. Приведены примеры решений для бездисперсионного уравнения Шредингера и перечислены задачи, которые могут быть решены предложенным методом. 

Ведущий научный сотрудник отдела, д.ф.-м.н. Левенштам Валерий Борисович выступил с докладом на тему «Асимптотический анализ высокочастотных квазилинейных гиперболических систем». В докладе говорилось о том, что метод усреднения по времени обоснован для нового класса высокочастотных квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений с независящими явно от пространственных переменных данными в случае задачи Коши. Под обоснованием здесь понимается доказательство асимптотической близости решений возмущенной и усредненной задач в метрике С. Кроме того, построена рекуррентная цепочка задач, доставляющих старшие приближения к решению возмущенной задачи в той же метрике. Эта цепочка начинается с квазилинейной усредненной задачи; все остальные задачи (их два типа) --линейные однозначно разрешимые. Установлены асимптотические оценки разности решения возмущенной задачи и старших приближений. 

Программа воркшопа находится по ссылке.