1. Важнейшие научные результаты
1.1. Современные проблемы теоретической математики
Разработан новый эффективный метод изучения топологических характеристик весовых пространств голоморфных функций. С помощью этого метода полностью охарактеризованы компактные спектры банаховых пространств голоморфных функций и монтелевские проективные оболочки индуктивных последовательностей таких пространств. Развитая техника открывает, в частности, новые возможности для исследования тонких свойств композиционных и сверточных операторов в пространствах голоморфных функций. (д.ф.-м.н. Абанин А.В., Фам Чонг Тиен)
Доказана теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта для янгиана специальной линейной супералгебры Ли, являющаяся обобщением классического результата В.Г. Дринфельда о классификации конечномерных неприводимых представлений янгиана простой алгебры Ли. (к.ф.-м.н. Стукопин В.А.)
Получена классификация метрических алгебр Ли в зависимости от наличия определенного количества отрицательных собственных значений у соответствующих операторов Риччи. В частности, доказано, что оператор Риччи произвольной неунимодулярной разрешимой метрической алгебры Ли имеет по крайней мере два отрицательных собственных значения. Этот результат обобщает многочисленные результаты, полученные ранее различными исследователями. (д.ф.-м.н. Никоноров Ю.Г.)
1.2. Математическая физика и математические проблемы механики, физики и астрономии
Разработаны методы исследования новых обратных задач о реконструкции неоднородных полей предварительных напряжений в упругом слое, переменных характеристик неоднородного ортотропного слоя и электроупругой среды по данным акустического зондирования. Эти задачи важны при осуществлении контроля свойств функционально-градиентных и пьезокерамических материалов. Задачи сведены к исследованию одномерных коэффициентных обратных задач, техника решения которых опирается на сочетание конечноэлементных технологий и регуляризованных итерационных процессов, на каждом шаге которого решается задача с переменными характеристиками и линейная некорректная задача; представлены результаты вычислительных экспериментов, выявлены оптимальные частотные диапазоны. (д.ф.-м.н.Ватульян А.О., Дударев В.В., к.ф.-м.н. Углич П.С., к.ф.-м.н. Явруян О.В.)
Построена и обоснована полная асимптотика некоторой фундаментальной матрицы решений системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с плавными и быстро осциллирующими коэффициентами. Старший матричный коэффициент ее представлен жордановой клеткой и пропорционален большому параметру (высокой частоте осцилляций). Алгоритм построения формальных асимптотик базируется на алгоритме акад. Н.Н. Моисеева (ДАН, 1966) в важной обработке Р.Л. Евельсона (Диф. уравн., 2011). В указанных работах этих авторов исследуется аналогичная задача, но быстро осциллирующие слагаемые не рассматриваются и, кроме того, строгое обоснование асимптотик практически отсутствует. (д.ф.-м.н. Левенштам В.Б., Крутенко Е.С.)
Предложен метод оценки напряженно-деформированного состояния структурно-неустойчивых неоднородных грунтовых массивов, позволяющий достаточно точно моделировать геомеханические процессы набухания и просадки. Полученное уравнение состояния структурно-неустойчивой среды справедливо для всех видов влажностных деформаций. Полученные решения задачи распределения полей напряженно-дефор миро ванного состояния позволяют избежать значительных погрешностей при проектировании, строительстве и эксплуатации инженерных сооружений. (к.т.н. Тедеев Т.Р.)
С помощью вычислительных экспериментов установлено, что центробежная мельница вертикального типа с тремя ребрами ротора эффективнее, чем с шестью ребрами. Расчеты показали также, что при наличии вырезов трапецеидальной формы в радиальных ребрах ротора производительности мельницы будет повышена за счет увеличения относительной скорости соударения ребра и материала Полученные резуль таты подтверждены экспериментально. (Минасян Д.Г.)
2. Основные научные результаты
2.1. Современные проблемы теоретической математики
Операторы в векторных и банаховых решетках. Показано, что решетки Капланского-Гильберта и инъективные банаховы решетки могут быть преобразованы друг в друга при помощи процедуры овыпукления. Построено тензорное произведение инъективных банаховых решеток и установлено, что любая инъективная банахова решетка разлагается в прямую сумму тензорных произведений AL- и AM-пространств. (д.ф.-м.н. Кусраев А.Г.)
Доказано, что инъективная банахова решетка решеточно изометрична банаховой решетке сечений единственного с точностью до решеточной изометрии полного непрерывного расслоения AL-пространств (д.ф.-м.н. Кусраев А.Г., к.ф.-м.н. Табуев С.Н.)
Построено обобщенное функциональное исчисление в равномерно полных и векторных решетках и описаны конечнопорожденные подмодули таких решеток. На основе этой техники введены некоторые p-характеристики векторных решеток с переменным показателем p. (д.ф.-м.н. Кусраев А.Г., Тасоев Б.Б.)
Рассмотрено обобщенное пространство Кальдерона-Лозановского и установлены теоремы двойственности для них. (Тасоев Б.Б.)
Установлен вариант теоремы Радона-Никодима и обоснована конструкция магарамова расширения для положительных ортогонально аддитивных полиномов в векторных решетках. (Кусраева З.А., >Тасоев Б.Б.)
Доказано, что в порядково полных векторных решетках любой положительный ортогонально аддитивный полином, сохраняющий дизъюнктность, допускает мультипликативное представление. (Кусраева З.А.)
Для класса нелинейных решеточных гомоморфизмов установлен аналог теоремы Мейера и найдена формула порядкового проектирования на полосу, порожденную этими операторами. (к.ф.-м.н. Плиев М.А.)
Получено представление типа Стайнспринга для конечных наборов вполне положительных отображений, действующих в гильбертовых модулях над операторными алгебрами. Исследованы понятия узкого и порядково узкого оператора в новом классе ортогонально аддитивных операторов в векторных решетках. (к.ф.-м.н. Плиев М.А.)
Пространства гладких и аналитических функций. Разработан новый эффективный метод изучения топологических характеристик весовых пространств голоморфных функций. С помощью этого метода полностью охарактеризованы компактные спектры банаховых пространств голоморфных функций и монтелевские проективные оболочки индуктивных последовательностей таких пространств. Развитая техника открывает, в частности, новые возможности для исследования тонких свойств композиционных и сверточных операторов в пространствах голоморфных функций. (д.ф.-м.н. Абанин А.В., Фам Чонг Тиен)
Исследована проблема деления в весовых пространствах целых функций с двучленными характеристиками роста общего вида. Выделен класс весов, для которых получено полное описание делителей соответствующих пространств. Установлено, что традиционные методы неприменимы к определенным классам весовых пространств. (к.ф.-м.н. Абанина Д.А., Кузьминова А.В.)
Полностью решена проблема о существовании линейного непрерывного правого обратного оператора к оператору свертки в классах ультрадифференцируемых функций нормального типа на конечном интервале. В качестве частного случая изучены дифференциальные операторы конечного и бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. (к.ф.-м.н. Абанина Д.А.)
Проведено систематическое исследование достаточных множеств в весовых пространствах Фреше целых функций и разработаны их применения к задаче существования и описания минимальных представляющих систем в пространствах голоморфных функций заданного роста вблизи границы. (д.ф.-м.н. Абанин А.В., Варзиев В.А.)
Установлены критерии существования оператора решения для дифференциального уравнения бесконечного порядка в пространствах функций, аналитических на выпуклых (не обязательно ограниченных) множествах, обладающих счетным базисом окрестностей из выпуклых областей. (д.ф.-м.н. Мелихов С.Н.)
Доказаны необходимые и достаточные условия наличия линейного непрерывного правого обратного к оператору представления рядами по функциям Миттаг-Леффлера функций, аналитических в ρ-выпуклых областях. (д.ф.-м.н. Мелихов С.Н.)
Получены оценки для комплексных степеней обобщенного оператора Гельмгольца с комплексными коэффициентами в главной части. Дано описание областей определения указанных степеней. Исследованы дифференциальные свойства обобщенных потенциалов Стрихарца, с плотностями из пространств Харди и пространства функций с ограниченной средней осцилляцией. Получен критерий ограниченности в лебеговом пространстве операторов свертки с особенностями символов на сфере, к которым не применимы классические мультипликаторные теоремы типа Михлина – Хермандера. (к.ф.-м.н. Ногин В.А.)
Комбинированные методы алгебры, анализа и математической логики. Установлено, что обобщенное функциональное исчисление в банаховой решетке совпадает с классическим однородным функциональным исчислением в подходящей булевозначной модели теории множеств. (д.ф.-м.н. Кусраев А.Г.)
Дано описание максимальных надгрупп нерасщепимого тора: каждая такая подгруппа связана с простым делителем целого, определяющего радикальное расширение основного поля, которое определяет нерасщепимый максимальный тор; построена элементарная сеть, которая не является допустимой. (д.ф.-м.н. Койбаев В.А.)
Получена классификация неприводимых конечномерных представлений янгиана супералгебры Ли Am,n (случай m равно n не исключается) в терминах полиномов Дринфельда. Доказана эквивалентность этого результата (в случае m не равно n) результату о классификации неприводимых конечномерных представлений янгиана полной линейной супералгебры Ли. Доказана теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта для янгиана специальной линейной супералгебры Ли. (к.ф.-м.н. Стукопин В.А.)
Доказаны существование и единственность квантования скрученной бисупералгебры Ли полиномиальных токов. Для янгиана странной супералгебры Ли доказана теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Построен квантовый дубль янгиана странной супералгебры Ли. Получено его описание в терминах системы образующих и порождающих соотношений, а также в терминах порождающих функций образующих. (к.ф.-м.н. Стукопин В.А.)
Спектральная теория. Введено общее понятие одностороннего и двустороннего канонического регуляризатора плотно определенного неограниченного оператора в банаховом пространстве. Рассмотрены приложения к некоторым задачам спектральной теории. Показано, что если неограниченный замкнутый оператор в гильбертовом пространстве имеет канонический двусторонний регуляризатор, принадлежащий некоторому операторному идеалу Шатена-фон Неймана, то его спектр дискретен, система корневых векторов полна и, кроме того, спектр в некотором смысле "прижат" к действительной оси. При некоторых дополнительных условиях получена формула для главного члена асимптотики функции распределения собственных значений, лежащих в некотором угле в комплексной плоскости. (к.ф.-м.н. Каплицкий В.М.)
Построены обобщенные резольвенты некоторых классов симметрических отношений, порожденных неплотно заданным квазидифференциальным оператором в пространстве вектор-функций, принимающих значения в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве. Дано описание спектральных функций этого квазидифференциального оператора. Исследованы спектральные меры самосопряженных расширений симметрического дифференциального оператора. В частности, получена оценка глобальной кратности спектра указанных операторов. Исследована кратность спектра самосопряженных расширений интегро-квазидифференциального оператора. (к.ф.-м.н. Филиппенко В.И.)
Доказана полуалгебраичность предельного спектра ленточной тёплицевой матрицы. Получены оценки для числа компонент связности дополнения предельного спектра ленточной тёплицевой матрицы в терминах степени лорановского полинома, являющегося символом данной тёплицевой матрицы. (к.ф.-м.н. Стукопин В.А.)
Дифференциальные операторы и краевые задачи. В известном смысле в завершенном виде исследована краевая задача Римана-Гильберта для классов Смирнова обобщенных аналитических функций в случае радоновской границы без точек заострения и ляпуновской границы. Доказана суммируемость с показателем большим единицы производных аналитических функций и решений уравнения Бельтрами для классов Харди. (д.ф.-м.н. Климентов С.Б.)
Исследован вопрос об однозначной разрешимости краевой задачи для уравнения четвертого порядка на графе в терминах знаков коэффициентов уравнения и краевых условиях в узлах графа, а также топологической структуры графа. При некоторых ограничениях доказана неотрицательность функции Грина. Для случая графа-пучка, состоящего из трех ребер, показана возможность такого выбора подграфа исходного графа, что краевая задача на подграфе имеет положительную функцию Грина. (к.ф.-м.н. Кулаев Р.Ч.)
Рассмотрены начально-краевые задачи для нагруженных параболических уравнений. Получены в терминах коэффициентов нагрузок формулы регуляризованных следов для полиномиальных операторных пучков второго порядка, возникающих при их решении методом Фурье. Получены условия разрешимости краевых задач для обыкновенных дифференциальных нагруженных уравнений. (к.ф.-м.н. Цопанов И.Д.)
Для двух классов линейных параболических задач второго порядка с высокочастотными коэффициентами построены и обоснованы полные асимптотики периодических по времени решений. Построена и строго обоснована полная формальная асимптотика некоторой фундаментальной матрицы решений нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с высокочастотными матричными коэффициентами. (д.ф.-м.н. Левенштам В.Б.)
Выпуклый анализ и теория приближений. Получены новые результаты об оптимальном восстановлении функции из соболевского класса на прямой по их неточно заданному преобразованию Фурье на произвольном множестве конечной меры в неевклидовой метрике. Исследована задача об оптимальном восстановлении дробной степени оператора Лапласа функции из соболевского класса функций на d-мерном пространстве по точно или неточно заданному преобразованию Фурье самой функции на произвольном выпуклом множестве Решена общая задача о восстановлении степени нормального конечномерного оператора по неточно заданным другим его степеням. Изучены также дискретные аналоги задач восстановления производных по неточно заданной информации о самой функции.. Найдены оптимальные методы восстановления. (д.ф.-м.н. Магарил-Ильяев Г.Г., д.ф.-м.н. Осипенко К.Ю.)
Получено короткое доказательство центрального результата теории оптимального управления - принципа максимума Понтрягина для измеримых управлений. Доказательство опирается на новую теорему о существовании непрерывной неявной функции для включений и теоремы Брауэра о неподвижной точке. (д.ф.-м.н. Магарил-Ильяев Г.Г., д.ф.-м.н. Тихомиров В.М.)
Изучены достаточные условия разрешимости нелинейных уравнений в окрестности анормальной точки. Развит индексный подход и доказаны различные теоремы об обратной функции в окрестности анормальной точки с линейно-корневой оценкой на решение. Обратное многозначное отображение в этих теоремах, вообще говоря, может не обладать непрерывными селекторами ни в какой окрестности рассматриваемой точки. Получены необходимые условия экстремума второго порядка в конечномерных анормальных задачах оптимизации. Исследована их связь с теоремой об обратной функции. (д.ф.-м.н. Арутюнов А.В.)
Показано, что если переменный показатель удовлетворяет условию Дини – Липшица, то двумерная система Хаара является базисом в пространстве Лебега с переменным показателем в смысле сходимости прямоугольных частичных сумм Фурье. (Магомед-Касумов М.Г.)
Сконструированы комбинированные квадратурные формулы для функций, обладающих на области определения существенно переменным поведением и получены оценки их погрешностей на классах функций Соболева с переменными показателями суммируемости и гладкости. (д.ф.-м.н. Шарапудинов И.И., Султанахмедов М.С.)
Исследованы аппроксимативные свойства некоторых линейных методов суммирования на классах Липшица и Соболева с переменным показателем. В частности, рассмотрены средние Фейера, Валле-Пуссена, Джексона, Норлюнда. (д.ф.-м.н. Шарапудинов И.И., Шарапудинов Т.И., Магомед-Касумов М.Г.)
В задаче о скорости сходимости сумм Фурье-Хаара в метрике пространств Лебега с переменным показателем получена оценка погрешности в терминах модуля непрерывности типа Джексона. (д.ф.-м.н. Шарапудинов И.И.)
Анализ на многообразиях. Получена классификация метрических алгебр Ли в зависимости от наличия определенного количества отрицательных собственных значений у соответствующих операторов Риччи. В частности, доказано, что оператор Риччи произвольной неунимодулярной разрешимой метрической алгебры Ли имеет по крайней мере два отрицательных собственных значения. Этот результат обобщает многочисленные результаты, полученные ранее различными исследователями. (д.ф.-м.н. Никоноров Ю.Г.)
Получена полная классификация обобщенных нормальных римановых метрик на сферах и проективных пространствах. Для целей классификации разработаны новые методы исследования обобщенных нормальных однородных римановых многообразий. В частности, доказано, что для любой связной (почти эффективной) транзитивной на сфере компактной группы Ли семейство инвариантных римановых метрик на этой сфере содержит обобщенные нормальные однородные метрики, не являющиеся нормальными однородными, тогда и только тогда, когда это семейство зависит от более чем одного параметра. (д.ф.-м.н. Никоноров Ю.Г., Берестовский В.Н.)
Доказано, что нижняя грань объемов выпуклых многогранников с заданными объемами гиперграней в евклидовом пространстве размерности не менее трех равна нулю. Получены некоторые необходимые и достаточные условия для существование многогранника с заданными площадями граней в трехмерных пространствах постоянной кривизны (д.ф.-м.н.Никоноров Ю.Г., Абросимов Н.В., Макаи Э. (Makai E.), Медных А.Д. и Рот Г.(Rote G.))
2.1. Математическая физика и математические проблемы механики, физики и астрономии
Квадратурные формулы для сингулярных интегралов. Исследован вопрос о возможности построения приближенных схем повышенной точности для численного решения интегральных уравнений теории рассеяния с применением нулей присоединенной функции Лежандра второго порядка. (д.ф.-м.н. Хубежты Ш.С.)
Построены квадратурные формулы повышенной точности для интегралов типа Коши с весовыми функциями. Даны равномерные оценки погрешностей. (Плиева Л.Ю.)
Задачи теории упругости. Разработаны методы исследования обратных задач о реконструкции неоднородных полей предварительных напряжений в упругом слое, переменных характеристик неоднородного ортотропного слоя, для электроупругой прямоугольной области по данным акустического зондирования. Задачи сведены к исследованию одномерных обратных задач, техника решения которых опирается на построение итерационного процесса, на каждом шаге которого решается задача с переменными характеристиками и линейная некорректная задача; реализованы результаты вычислительных экспериментов. (д.ф.-м.н. Ватульян А.О., Дударев В.В., к.ф.-м.н. Явруян О.В.)
Рассмотрена обратная задачи о восстановлении неоднородных механических характеристик при антиплоских колебаниях упругого изотропного слоя. Проблема сведена к краевой задаче для канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трансформант Фурье, которая решена методом пристрелки. Для построения волнового поля реализована процедура обращения преобразования Фурье, основанная на теории вычетов. Построены итерационные последовательности интегральных уравнений для решения обратной задачи, осуществлены результаты вычислительных экспериментов. (к.ф.-м.н. Углич П.С., д.ф.-м.н. Ватульян А.О.)
Разработаны методы решения задач для исследования дислокаций Вольтерра в цилиндре с винтовой и винтовой октаэдрической анизотропией; осуществлен подробный анализ напряженно-деформированного состояние в случае винтовой дислокации. На этой основе разработана математическая модель двух типов винтовых (спиральных) движений крови в аорте: пристеночные спиральные волны, порождаемые продольными и крутильными гармоническими волнами вдоль стенки и короткие волны малой амплитуды, заполняющие практически все поперечное сечение сосуда. (д.ф.-м.н. Устинов Ю.А.)
Гидродинамика. Проведен линейный анализ устойчивости стационарного вращения системы точечных вихрей, расположенных равномерно на окружности внутри кольца. Гамильтониан уравнения движения задачи выражается через специальные функции и зависит от двумерного параметра. Получены аналитические условия, при которых имеет экспоненциальная неустойчивость или устойчивость по линейному приближению. (д.ф.-м.н. Куракин Л.Г.)
Построена асимптотика вибрационного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубах с волнообразно изменяющимися стенками при условии одного порядка малости амплитуды вибраций и толщины стоксова слоя. На этой основе исследован ряд конкретных виброгенных потоков в плоских каналах; в частности, установлено, что волны, бегущие по границам канала в одном направлении, индуцируют сдвиговое течения. Тем самым, на новую область параметров распространена классическая теория перистальтических течений (Yih-Fung, J.Appl. Mech, 1968). Установлено также, что стоячие волны и волны, бегущие в разных направлениях, индуцируют стационарные вихревые дорожки в среднем течении. (к.ф.-м.н. Моргулис А.Б.)
Построены новые примеры колебательной неустойчивости плоского безвихревого (циркуляционного) течения несжимаемой жидкости сквозь круговое кольцо относительно плос ких и трехмерных возмущений при нулевой и малой вязкости. (к.ф.-м.н. Моргулис А.Б.)
На плоские стационарные течения идеальной жидкости с открытой границей обобщены вариационные принципы, введенные В.И. Арнольдом для случая непроницаемых границ (или условий периодичности). На этой основе установлена единственность открытого течения с убывающей гладко обратимой зависимостью функции тока от вихря. Вместе с тем, установлены условия ветвления, неединственности и неустойчивости открытого течения с возрастающей зависимостью функции тока от вихря. В частности, такие явления имеют место в одном классе семейств азимутальных течений в открытом кольцевом канале. (к.ф.-м.н. Моргулис А.Б.)
Поставлена и решена пространственная контактная краевая задача совместных сейсмических колебаний высоконапорной плотины и воды в водохранилище. Колебание плотины смоделировано дифференциальным уравнением поперечных колебаний пластины с учетом инерции вращения и деформации сдвига. Указанная система уравнений сведена к интегро-дифференциальному уравнению в частных производных. В явном виде получено частотное уравнение колебаний вышеуказанной системы. (д.т.н. Музаев И.Д., Музаев Н.И., Вазиева Л.Т.)
Поставлена и решена контактная краевая задача совместных сдвиговых колебаний плотины, ее фундамента и двухслойного грунта под фундаментом. Получены расчетные формулы для установления усиления либо ослабления сейсмического воздействия грунтовых толщ на интенсивность колебания тела плотины. (д.т.н. Музаев И.Д., Музаев Н.И., Вазиева Л.Т.)
Выполнено исследование переходов между стационарными режимами задачи обтекания тела потоком вязкой несжимаемой жидкости с различными скоростями на бесконечности. Доказано существование нестационарного решения системы Навье-Стокса, которое в начальный момент совпадает с первым режимом и стремится ко второму при стремлении времени к бесконечности, при условии, что оба стационарных режима включаются в гладкое семейство устойчивых стационарных решений задачи обтекания. Получены оценки сходимости нестационарного решения к финальному режиму. Данный результат является дальнейшим продвижением в решении "стартовой" проблемы Р. Финна. (к.ф.-м.н. Сазонов Л.И.)
Получены рекуррентные формулы для k-го члена длинноволновой асимптотики задачи устойчивости двумерных сдвиговых течений вязкой несжимаемой жидкости. Показано, что критические собственные значения являются нечетными функциями волнового числа, а критические значения вязкости - четными функциями. Если отклонение скорости от ее среднего по периоду значения является нечетной функцией пространственной переменной, то собственные значения находятся точно. Полученные результаты играют ключевую роль при рассмотрении течений, периодически зависящих от времени. (к.ф.-м.н. Ревина С.В.)
Геофизические процессы. Предложен метод оценки напряженно-деформированного состояния структурно-неустойчивых неоднородных грунтовых массивов, позволяющий достаточно точно моделировать геомеханические процессы набухания и просадки. Основным преимуществом предлагаемого метода является возможность рассмотрения различных теоретических и экспериментальных законов изменения влажностных деформаций и явный учет анизотропности деформирования. Полученное уравнение состояния структурно-неустойчивой среды справедливо для всех видов влажностных деформаций. (к.т.н. Тедеев Т.Р.)
Реализована модель питающего канала активного вулкана с учетом сложного реологического строения магматического расплава. В результате вычислительных экспериментов выяснена возможность реализации различных устойчивых стационарных и колебательных режимов течения магматического расплава. (к.т.н. Радионов А.А.)
Математическое моделирование прикладных задач. С помощью программы OpenFoam проведены исследования движения воздуха в уличных каньонах с домами одинаковой и разной высоты по их сторонам с использованием разных решателей, разных моделей турбулентности и с разным шагом сетки. (Волик М.В.)
С помощью компьютерного моделирования установлено, что центробежная мельница вертикального типа с тремя ребрами ротора эффективнее, чем с шестью и с вырезами в ребрах трапецеидальной формы эффективнее, чем со сплошными ребрами. Полученные результаты подтверждены экспериментально. (Минасян Д.Г.)
Определены области применения различных математических моделей виброожижен ного слоя. Получено, что для мелкодисперсных частиц лучше использовать двухжидкостную модель на основе закона Дарси. Если рассматриваются достаточно крупные частицы, применима модель гранулярного газа. Упрощенную модель гранулярного газа (модель "газа крупных частиц") лучше использовать в случае крупных частиц, когда рассматриваются достаточно тонкие слои (монослои). Получены предварительные результаты по оптимизации аппарата для очистки газа с помощью расчетов по двухжидкостной модели виброожижения на основе закона Дарси и модели гранулярного газа. (Орлова Н.С.)
Выявлены индикаторы социальной напряженности полиэтничного общества: число самоубийств, убийств и покушений на убийства или тяжких и особо тяжких преступлений и разность между браками и разводами. Анализ статистических данных по РСО-А и РФ показал, что характер изменения этих индикаторов за период с 2000 по 2009 год имеет сходную динамику. За указанный период наиболее чувствительным индикатором социальной напряженности для РСО-А является число самоубийств. Оно заметно меняется после террористического акта в Беслане, причем эти изменения подобны изменению доли людей, которая, по результатам опросов, испытывала сильное беспокойство. (к.ф.-м.н. Басаева Е.К., Хосаева З.Х.)
Разработана система математических моделей динамики напряженности в полиэтничном обществе. Более сложные модели позволяют количественно анализировать различные сценарии, приводящие к изменению напряженности в таком обществе, но содержат большое число констант, которые трудно определить с достаточной точностью. Упрощенные модели имеют значительно меньшую область применения, но легче верифицируемы и позволяют получать более точные прогнозы. Показано, что для Северной Осетии во время роста экономики Российской Федерации и относительной стабильности государства, напряженность общества почти полностью определяется изменением экономической ситуации в стране в целом. (д.ф.-м.н. Каменецкий Е.С., Хосаева З.Х.)
Предложена модель динамики протестных акций, возникающих в результате информационного воздействия. Модель учитывает начальную напряженность общества, возможность силового подавления протестных акций и взаимодействия между протестующей, возбужденной и пассивной частями общества. С помощью этой модели показано, что, при прочих равных условиях, изменение начальной напряженности общества существенно влияет на число участников протестной акции. (Хосаева З.Х.)
Технология обучения математическому моделированию в профессиональном и профильном математическом образовании. В ходе системогенеза проблем, движущих сил и сущности технологизации обучения математике в школе определены сущность, состав и структура фундирования опыта личности, наглядного моделирования и универсальных учебных действий школьников в изучении математики на основе выявления фундирующих конструктов и наглядного моделирования в обучении математике; разработаны учебные программы спецкурсов для учителей математики "Наглядное моделирование и творчество в процессе решения математических задач" и требования к уровню инновационной деятельности учителя в технологическом компоненте. (д.пед.н. Смирнов Е.И., к.пед.н. Абатурова В.С.)
Определены содержание и инновационная структура учебных предметов (математика, стохастика) на основе развертывания фундирующих конструктов, наглядного моделирования на локальном, глобальном и модульном уровнях, а также выявлена ориентировочная и информационная основы учебной деятельности, включая основные характеристики аннотированных учебных программ курса математики и варианты аннотированных учебных программ ресурсных занятий по математике основной школы (V-IX классы); разработаны графы согласования и банки исследовательских и прикладных задач, содержание учебных программ на основе интеграции с предметами естественнонаучного цикла. (д.пед.н. Смирнов Е.И., к.пед.н. Абатурова В.С.).
Выявлены структуры диагностично поставленных целей 3-х уровней (базисные, процессуальные и иерархические) и 3-х проявлений (глобальных, модульных и локальных) в когнитивной и аффективной областях в контексте формирования универсальных учебных действий школьников и нового качества математических компетентностей педагога а свете концепции фундирования. (д.пед.н. Смирнов Е.И., к.пед.н. Абатурова В.С.)
Построена концептуально-структурная наглядная модель формирования универсальных учебных действий школьников и математической компетентности будущих учителей на основе фундирования и наглядного моделирования обобщающих процедур и знаково-символической деятельности. (д.пед.н. Смирнов Е.И., к.пед.н. Абатурова В.С.)
Осуществлено проектирование блочно-модульной структуры содержания обучения математике в единстве профессионального, теоретического обобщения и технологического блоков, объединенных комплексом дидактических модулей. (д.пед.н. Смирнов Е.И., к.пед.н. Абатурова В.С., к.ф.-м.н. Дятлов В.Н.)