Южный математический институт ВНЦ РАН является одним из центров фундаментальных и прикладных математических исследований в России. Фундаментальные исследования ведутся в направлениях:  геометрия функциональных пространств, теория операторов, дифференциальные и интегральные уравнения, дифференциальная геометрия, выпуклый анализ и теория приближений. Прикладные исследования ЮМИ ВНЦ РАН связаны с краевыми задачами для моделей механики деформируемого твердого тела (с учетом неоднородности, поля температур, реологии, моментного и предварительного напряженного состояния и т.п.), методами решения коэффициентных и геометрических обратных задач для тел различной геометрии (пластины, стержни, цилиндры), изучение пространственно-временных структур и устойчивости в математической гидродинамике, математическим и компьютерным моделированием опасных природных процессов (магматизма, вулканизма, селей, лавин, оползней), распространением загрязняющих веществ в атмосфере, водоемах и грунтах, некоторыми инженерными задачами (измельчение рудных и нерудных материалов, очистка газов и т. п.). В Институте также ведутся исследования по дидактике математики, нацеленные на развитие высшего и школьного математического образования. В ряде направлений сотрудникам ЮМИ ВНЦ РАН принадлежит мировой приоритет.

• линейные и нелинейные операторы в функциональных пространствах;
• упорядоченные пространства и мажорируемые операторы;
• синтетические методы алгебры, анализа и математической логики;
• выпуклый анализ, теория оптимизации и теория приближений;
• дифференциальная геометрия;
• комплексный анализ;
• дифференциальные и интегральные уравнения;
• численные методы;
• математическое и компьютерное моделирование; 
• создание математических моделей социальных, биологических и природных процессов, обуславливающих механизмы и риски адаптации хозяйственных и социальных практик традиционного общества к изменяющимся условиям жизни;
• математическое моделирование социальных процессов в полиэтничном обществе в условиях нестабильной экономики;
• решение гидроаэродинамических задач тепломассопереноса в окружающей среде, техносфере, биосфере;
• междисциплинарные психолого-педагогические исследования, разработка новых образовательных технологий.

 

В ЮМИ ВНЦ РАН сформировался высококвалифицированный коллектив научных сотрудников и получили развитие научные школы, занимающие лидирующие позиции в мире в соответствующих направлениях математики. 

А) В рамках научной школы А.Г. Кусраева «Теория мажорируемых операторов» более четверти века осуществляется плодотворный синтез восходящей к Л.В.Канторовичу методологии порядкового функционального анализа и метода булевозначного моделирования Д. Скотта и Р. Соловея. В частности, используя комбинированные методы анализа, алгебры и математической логики, получено решение проблемы Викстеда в терминах неограниченных дифференцирований; построена классификация инъективных банаховых решеток и йордановых банаховых алгебр, полных в смысле Бэра;  разработаны общие методы порядкового анализа нелинейных ортогонально аддитивных операторов в векторных решетках и решеточно-нормированных пространствах и установлены нелинейные версии классических теорем Радона-Никодима, Рисса-Канторовича, Доддса-Фремлина, Кэлтона-Розенталя; исследовано поряково-геометрическое строение пространств однородных полиномов в векторных и банаховых  решетках; развита теория интеграла типа Канторовича – Райта с приложениями к функциональному представлению квазибанаховых решеток; построено расширенное функциональное исчисление в векторных решетках.

Б) Исследования научной школы Ю.Ф. Коробейника и А.В. Абанина «Линейные операторы в комплексном анализе» сосредоточены на развитии теории пространств голоморфных и бесконечно дифференцируемых функций со сложной топологической структурой и их двойственной взаимосвязи. В рамках данного направления получены результаты завершенного характера по теории базисов, представляющих систем, разрешимости уравнений свертки и продолжения функций по Борелю-Уитни, построена теория ультрадифференцируемых функций и ультрараспределений, которая по спектру пространств шире, чем известные теории Румье–Коматсу, Берлинга–Бьорка и Брауна–Майзе–Тейлора, развита новая техника изучения топологических и динамических свойств классических операторов в весовых банаховых пространствах голоморфных функций, с помощью которой получено полное решение ряда известных проблем.

В) Научной школой по механике А.О. Ватульяна (сформированной в рамках школы академика РАН И.И. Воровича), получены принципиально важные результаты в области обратных коэффициентных задач для моделей упругости, вязкоупругости, термоупругости, разработаны эффективные вычислительные схемы для их решения, исследованы решения Сен-Венана для тел со сложной анизотропией, проведены исследования устойчивости нелинейно-упругих тел при растяжении и кручении для различных типов потенциалов,  в исследовании стационарных и нестационарных задач для уравнений Навье–Стокса и магнитной гидродинамики, обнаружено и исследовано явление «захвата вихря» при протекании идеальной жидкости сквозь конечный канал, развиты методы построения асимптотик и решения обратных задач для уравнений с быстросциллирующими коэффициентами, изучены вопросы устойчивости вихревых многоугольников. 

С) В институте формируется научная школа в области дидактики математики, результаты исследований внедряются в систему математического образования региона. В частности, сотрудниками ЮМИ разрабатывается концепция формирования научного стиля мышления школьников в ходе обучения математике (руководитель Абатурова В.С.). Апробация результатов этих исследований проводится в рамках научно-образовательных и просветительских мероприятий института для учителей математики и учащихся средней школы. В ходе работы определены и реализованы организационно-педагогические условия формирования у школьников научного стиля мышления: создана региональная интегрированная научно-образовательная среда «школьник-студент-учитель-профессор»; разработано и реализовано соответствующее цели исследования содержание образовательных курсов и модулей для учителей математики и учащихся средней школы.

Сотрудники Южного математического института ВНЦ РАН входят в число мировых лидеров в следующих направлениях:

функциональный анализ и теория операторов – структурная теория весовых пространств голоморфных функций и операторов в них (А.В. Абанин); теория двойственности функциональных пространств голоморфных и ультрадифференцируемых функций и ее приложения к уравнениям свертки и представляющим системам (С.Н. Мелихов, Д.А. Полякова); нестандартные методы анализа и мажорируемые операторы (А.Г. Кусраев); геометрия пространств однородных полиномов (З.А. Кусраева); теория оптимального восстановления (Магарил-Ильяев Г.Г.); ряды Фурье в пространства Лебега  с переменным показателем (Магомед-Касумов М.-Р. Г.); нелинейные ортогонально аддитивные операторы (М.А. Плиев); теории янгианов супералгебр Ли и спектральной теории теплицевых матриц больших размеров (В. А. Стукопин);  интегрирование в векторных решетках и обобщенное функциональное исчисление (Тасоев Б.Б.).

дифференциальные уравнения и дифференциальная геометрия – методы решения обратных коэффициентных задач для моделей механики сплошной среды (Ватульян А. О.); разработка и исследование математических моделей массопереноса в электрических полях (М.Ю. Жуков); осцилляционная теория дифференциальных уравнений на графах (Р.Ч. Кулаев);  математическая теория устойчивости дискретных вихревых конфигураций (Л.Г. Куракин); вихревые течения в областях с проницаемыми границами (А.Б. Моргулис);  геометрия однородных римановых многообразий (Ю.Г. Никоноров); спектральная теория дифференциальных операторов высших порядков с негладкими коэффициентами (Д.М. Поляков); качественная теория нелинейных нестационарных краевых задач на некомпактных римановых многообразиях (A.Ф. Тедеев); обратные задачи для дифференциальных уравнений с памятью (Ж.Д.Тотиева).