29 мая 2026 года в онлайн формате состоялась пятая сессия Лектория для учителей математики «Моделирование методической деятельности учителя математики при обучении учащихся решению сложных задач», проводимого в 2026 году ВНЦ РАН (ЮМИ и СКЦМИ) совместно с ИРПК и СОРО МРАУМ. Лекцию «Комментарии к учебнику стереометрии, авторы Л.С.Атанасян и др. Беседа 8. Нахождение углов между прямой и плоскостью и между плоскостями» представил доцент кафедры математического анализа Национального исследовательского университета «Новосибирский государственный университет», научный сотрудник Южного математического института ВНЦ РАН, к.ф.-м.н., доцент Дятлов Владимир Николаевич.

В работе V сессии Лектория приняли участие учителя и преподаватели математики из шести регионов РФ: г. Брянск, г. Владикавказ, г. Моздок (РСО-А), г. Москва, г. Балашиха (Московская область), г. Новосибирск, г. Ставрополь.

В ходе сессии состоялось обсуждение проблемы решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью, угла между двумя плоскостями им угла между скрещивающимися прямыми. При нахождении угла лектор предложил к рассмотрению геометрический и векторный способы. В обоих случаях обучение строится на применении абстрактных выносных чертежей для актуализации необходимых определений и теорем и разбиении задачи на одношаговые подзадачи (геомемы). При введении системы координат лектором рекомендуется рационализировать вычисления за счет большего числа точек с нулевыми координатами за счет эффективного выбора системы координат. При практическом применении обоих методов была предложена технология действий в соответствующих ситуациях в виде серии простейших исполняемых шагов. В ходе сессии были рассмотрены три задачи из расположенных ниже, при решении которых была показана эффективность дидактической триады «Теория. Технология. Практика».
Были рассмотрены задачи из сборников по подготовке к ЕГЭ авторского коллектива под руководством Ф. Ф. Лысенко: ЕГЭ-2024 и ЕГЭ 2026. 40 тренировочных вариантов.

Задача 1 (Лысенко 24, в. 17). Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 5. На ребре BB1 отмечена точка G так, что GB = 3. Через точки G и C1 проведена плоскость α, параллельная диагонали BD1. (а) Докажите, что A1L: LB1 = 1: 2, где L – точка пересечения плоскости с ребром A1B1. (б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1.

Задача 2 (Лысенко 24, в. 19). В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC со сторонами AB, BC, AC, равными соответственно 8, 7, 3. Точка D – середина ребра A1B1. Точка F делит ребро AC в отношении CF : F A = 1 : 2. (а) Докажите что DF ⊥ АC. (б) Найдите угол между прямой DF и плоскостью ABB1, если AA1 = 9.

Задача 3 (Лысенко 24, в. 33). В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и BC = 5. Длины боковых ребер пирамиды SA = 2√17, SB = 2√26, SD = √93. (а) Докажите, что SA – высота пирамиды. (б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Две задачи были даны в конце занятие как домашнее задание к следующей сессии.

Задача 4 (Лысенко 26, в. 7). Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость α проходит через ребро BC и пересекает ребра SA и SD в точках K и L соответственно. Известно, что BC = BK = CL = 4KL. (а) Докажите, что SKKA = SL: LD = 1:3. (б) Найдите косинус угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.

Задача 5 (Лысенко 26, в. 17). На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 4 : 1, на ребре BB1 – точка F так, что B1F : F B = 2 : 3. Известно, что AB = 6, AD = 8, AA1 = 10. (а) Докажите, что плоскость EFD1 делит ребро B1C1 на равные отрезки. (б) Найдите угол между плоскостью EFD1 и плоскостью AA1B1.

Видеозапись V сессии Лектория доступна по ссылке.
Видеозаписи всех сессий Лектория 2025 г. можно посмотреть здесь.
Видеозаписи всех сессий Лектория 2026 г. можно посмотреть здесь.

Общая информация о Лектории:

Лекторий «Моделирование методической деятельности учителя математики при обучении учащихся решению сложных задач» организуется в рамках научно-образовательного проекта ВНЦ РАН «Владикавказский педагогический математический марафон» (ВПММ) с целью осуществления научно-методической поддержки математической и методической профессиональной деятельности учителей математики; выявления и преодоления профессиональных дефицитов учителей математики; апробации авторских методик обучения математике.

Соорганизаторы Лектория: Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН; Северо-Кавказский центр математических исследований Владикавказского научного центра РАН; Северо-Осетинское региональное отделение Межрегиональной ассоциации учителей математики; Институт развития и подготовки кадров.

Сопредседатели Оргкомитета ВПММ – к.пед.н. Абатурова Вера Сергеевна (ЮМИ ВНЦ РАН, СКЦМИ ВНЦ РАН, г. Владикавказ), д.пед.н., профессор Малова Ирина Евгеньевна (ЮМИ ВНЦ РАН, г. Брянск), секретарь Оргкомитета – к.пед.н. Бегиева Тамара Борисовна (СОРО МРАУМ, МБОУ СОШ № 27, г. Владикавказ).

Участники Лектория – учителя математики, руководители методических объединений по математике, завучи школ, курирующие математику, преподаватели математики в ссузах и вузах, преподаватели кружков по математике, репетиторы и иные специалисты в области математического образования, аспиранты, магистранты и студенты вузов педагогической (математической) специализации.