Введен класс операторов почти адамаровского типа, т.е. тех линейных непрерывных операторов в локально выпуклом пространстве, содержащем все многочлены, для которых однородные многочлены любой (фиксированной) степени образуют их инвариантное подпространство. Частным случаем операторов почти адамаровского типа являются операторы адамаровского типа (диагональные), для которых каждый моном является их собственным вектором. Операторы почти адамаровского типа изучены в пространстве всех целых функций многих комплексных переменных. Доказанные результаты применены к описанию всех линейных непрерывных в этом пространстве операторов, перестановочных в нем с многомерным оператором Харди-Литтлвуда (Мелихов С.Н., Иванова О.А.).

Исследованы линейные непрерывные операторы, перестановочные с оператором обобщенного обратного сдвига в пространстве целых функций экспоненциального типа, реализующем сопряженное к пространству Фреше H(Q) всех функций, голоморфных в выпуклой области Q комплексной плоскости. Решена проблема факторизации таких опе-раторов. Изучено обобщенное произведение Дюамеля в пространстве H(Q), опре-деляемое произведением многочлена и экспоненты. В частности, доказан критерий обра-тимости соответствующего оператора Дюамеля в H(Q) (Мелихов С.Н., Иванова О.А.).

В пространствах ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье нормального типа на числовой прямой решена одна из классических проблем моментов. Именно, установлены необходимые и достаточные условия, при которых образ указанных пространств относительно отображения Бореля содержит в себе аналогичное пространство, задаваемое другой весовой функцией (Полякова Д.А.).

Комбинированные методы алгебры, анализа и математической логики. Построен пример замкнутой (допустимой) элементарной сети (ковра) над полем характеристики 0, которую нельзя дополнить до (полной) сети. Таким образом, доказано, что включение {дополняемые эл.сети} < {замкнутые эл.сети} является строгим. Указанный пример кон-струируется с помощью построенной техники матричных множеств над полем многочле-нов с коэффициентами из поля нулевой характеристики (Койбаев В.А.).

Получена конструкция квантового группоида Вейля и квантового аффинного группоида Вейля. Получена классификация возникающих структур коумножения в терминах диаграмм Дынкина и суперотражений. Получены явные формулы для твистов, сплетаю-щих эти коумножения, а также явное описание квантовых суперотражений (аналогов автоморфизмов Люстига) элементов квантового группоида Вейля, определяющих эти тви-сты. В случае, когда параметр квантования q является корнем из 1, получены явные фор-мулы для универсальных R-матриц для квантовой супералгебры U_q(sl(m,n)), определяемой разными картановскими данными (диаграммами Дынкина). Получена классификация возникающих в этом случае различных структур супералгебр Хопфа, а также структур треугольных супералгебр Хопфа (Стукопин В.А.).

Найдены равномерные асимптотические формулы для собственных значений сим-метрических 7-диагональных теплицевых матриц с символом, первые 5 производных ко-торого могут обращаться в ноль в концевой точке. Получены равномерные оценки для остаточного члена, а также разные варианты формул, удобные для численных расчетов (Стукопин В.А.).

Дифференциальные операторы и краевые задачи. Для нормальных систем дифференциальных уравнений с большими быстро осциллирующими слагаемыми в случае мно-готочечной краевой задачи обоснован метод усреднения Крылова - Боголюбова (Левенштам В.Б.).

Методом годографа на основе закона сохранения получено общее решение задачи Коши для произвольной слабо-нелинейной системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведено общее решение задачи Коши для некоторой системы, описывающей электрофорез (Жуков М. Ю.).

Получены новые априорные оценки «вплоть до края» второй основной формы поверхности положительной кривизны. С их помощью установлены новые аналитические диффеоморфизмы (по Фреше) множества изометрических преобразований такой поверх-ности и соответствующего пространства голоморфных функций (Климентов С.Б.).

Изучена трехмерная система нелинейных уравнений в частных производных, для которой рассматривался вопрос построения точных решений. Путем введения дополнительного алгебраического условия построен класс решений системы. Построенный класс параметризуется функциями одной переменной, заданными на координатных осях. Даются явные формулы решений системы (Кулаев Р.Ч.).

Исследована начально-краевая задача, соответствующая двумерной и трехмерной альфа-модели Джеффриса-Олдройда с реологическим соотношением, удовлетворяющим принципу объективности. Для рассматриваемой модели доказано существование диссипативного решения. Кроме того, установлена связь диссипативных решений с сильными решениями для указанной начально-краевой задачи (Поляков Д.М.).

Установлены точные константы в неравенстве С.Л. Соболева, определенных на широком классе некомпактных Римановых многообразиях удовлетворяющих условиям изопериметрического типа. Полученные результаты можно применить при исследовании качественных свойств вырождающихся параболических на многообразиях (Тедеев А.Ф.).

Решена обратная задача последовательного определения двух неизвестных - коэффициента, характеризующего свойства среды со слабо горизонтальной неоднородностью, и ядра интегрального оператора, описывающего память среды. Построен метод нахождения (с учетом памяти среды) коэффициента с точностью до поправки, имеющей порядок O(ϵ2). Доказаны теоремы однозначной локальной разрешимости поставленных обратных задач. Приведены результаты численных расчетов функции ядра и коэффициента (Тотиева Ж.Д.)

Изучена линеаризованная обратная задача определения двумерного ядра для системы уравнений линейной динамической вязкоупругости с сосредоточенным источником возмущений на свободной поверхности. Искомой величиной в поставленной задаче является ядро интегрального оператора, моделирующего явление памяти, которое имеет место при распространении волновых процессов в вязкоупругих средах. Доказаны теоремы глобальной однозначной разрешимости в пространстве непрерывных функций и устойчивости решения обратной задачи. Приводится теорема о сходимости регуляризованного семейства задач к решению исходной (некорректной) задачи (Тотиева Ж.Д.).

Для классической системы уравнений реакции-диффузии – системы Шнакенберга – получено аналитическое описание области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы. Найдено аналитическое выражение критического коэффициента диффузии d, при котором происходит потеря устойчивости положения равновесия системы. Указаны условия, в зависимости от которых множество волновых чисел, соответствующих нейтральным модам устойчивости, счетно, конечно или пусто. Доказано разбиение полуоси d > 1 на счетное объединение полуинтервалов, каждому из которых соответствует минимальное волновое число, зависящее от собственных значений оператора Лапласа в рассматриваемой области (Ревина С.В.).

Выпуклый анализ и теория оптимизации. В теории оптимального управления важную роль играет понятие управляемости управляемой системы. На содержательном уровне это означает, что в любой окрестности данной допустимой траектории найдется другая допустимая траектория, граничные значения которой отличаются от граничных значений исходной на любую сколь угодно малую величину. Вводится понятие локальной управляемости для функции, которая, вообще говоря, не является допустимой траекторией, но остальные указанные свойства остаются. Доказаны достаточные условия такой управляемости для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и в качестве уже непосредственного следствия этого результата получены необходимые условия для так называемого локального инфимума – понятия (введенного ранее Е.Р. Аваковым и Г.Г. Магарил-Ильяевым), обобщающего понятие оптимальной траектории. Напомним, что эти необходимые условия усиливают классический принцип максимума Понтрягина и развивают его на более общий класс задач (Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г.) .

Доказана теорема общего вида о существовании неявной функции у отображений, близких к исходному в равномерной метрике пространства непрерывных отображений. При этом, в оценке решения для отображения, близкого к исходному, появляется новый член, отвечающих за близость данных отображений. Вопросы, связанные с существованием неявной функции (разрешимостью нелинейных уравнений) для близких отображений, естественным образом возникают в различных приложениях вследствие неточного задания исходных данных или тогда, когда мы заменяем (аппроксимируем) «сложное» отображение более простым (Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г.) . 

Найдены явные выражения для семейства оптимальных методов восстановления решения уравнения теплопроводности в данный момент времени по неточным его измерениям в другие моменты на многообразии, представляющим собой произведение окружности и прямой (труба). Поученные выражения для оптимальных методов могут служить основой для построения эффективных численных алгоритмов решения подобного рода задач (Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю., Сивкова Е.О.).

Теория приближений. Доказана равномерная на [-1,1] сходимость рядов Фурье по соболевской системе полиномов P_r^(α,β), -1 <α,β≤ 0, ассоциированной с полиномами Якоби, к функциям из пространства Соболева W_(L_ρ(α,β)^1)^r, где ρ(α,β) – вес Якоби. Показано, что при r=1 условия на показатели α,β нельзя ослабить. Доказано также, что при выполнении условий Макенхоупта упомянутые ряды Фурье сходятся в норме пространства Соболева W_(L_ρ(A,B)^p)^r, p>1 (Магомед-Касумов М.Г.).

Рассмотрены свойства систем функций Φ_1, ортогональных относительно дискретно-непрерывного скалярного произведения типа Соболева с двумя дискретными точками. Исследован вопрос о полноте систем Φ_1 в пространстве Соболева W_(L^2)^1. Изучены свойства рядов Фурье по системам Φ_1. В частности, доказана равномерная сходимость рядов Фурье по системам Φ_1 к функциям из W_(L^2)^1 (Магомед-Касумов М.Г.). Получено представление систем функций Φ_1, ортогональных относительно ска-лярного произведения типа Соболева с одной дискретной точкой, в терминах функций систем, ортогональных в L^2. Исследованы вопросы полноты системы Φ_1. Изучены некоторые свойства систем функций, полученных дифференцированием системы Φ_1 (Магомед-Касумов М.Г.). 

Разработаны алгоритмы прямого и обратного быстрого преобразования Фурье по системе функций, ортогональных по системе Соболева и порожденных системой Уолша. Составлена компьютерная программа, реализующая эти алгоритмы (Магомед-Касумов М.Г.).

Разработана программа по построению рядов Фурье по системе полиномов τ_(r,k)^(α,β), ортогональных по Соболеву, порожденных системой полиномов Чебышева τ_n^(α,β), ортонормированных на равномерной сетке, при α=β=0. Проведены численные эксперименты по оценке отклонения конечных разностей n-го порядка частичных сумм указанных рядов Фурье от конечных разностей n-го порядка функций, обладающих раз-личной степенью гладкости. Результаты программы планируется использовать для получения более точных теоретических оценок для вышеуказанного отклонения (Шарапудинов Т.И.). 

Анализ на многообразиях. Завершена классификация правильных и полуправильных многогранников в евклидовых пространствах, множества вершин которых образуют нормальные однородные или однородные по Клиффорду-Вольфу метрические пространства. Для этой цели понадоби-лось провести всестороннее исследование метрических свойств полуправильных многогранников в евклидовых пространствах E^n при n ≥ 4 (многогранников Госсета) ( Никоноров Ю.Г. Берестовский, Ю.Г.).

Математическая гидродинамика. Рассмотрена система четырех точечных вихрей на плоскости. Их движение описывается уравнениями Кирхгофа. Три вихря единичной интенсивности и один вихрь произвольной интенсивности ϰ. Исследуется устойчивость стационарного вращения вихревого квадруполя, состоящего из трех одинаковых вихрей, расположенных равномерно на окружности, вокруг четвертого. Известно, что при ϰ>1 исследуемый режим неустойчив, а в случае ϰ<−3 и 0<ϰ<1 имеет место орбитальная устойчивость. Новые результаты получены для −3<ϰ<0. Установлено, для всех ϰ в этом случае в проблеме устойчивости имеет резонанс 1:1 (диагонализированный случай). При изолированных значениях ϰ имеют место и другие резонансы: двукратного нуля (диагонализируемый случай), резонансы 1:2 и 1:3. Устойчивость равновесия редуцированной системы доказана для всех ϰ∈(−3,0) методами нелинейного анализа (Куракин Л.Г.).

Рассматривается динамическая система с косимметрией. Показано, что в случае не-четной динамической системы равновесие неизолировано и принадлежит однопараметрическому семейству равновесий. В четномерном случае косимметричное равновесие, вообще говоря, изолировано. Динамическая система и ее косимметрия зависят от веще-ственного параметра. Описаны сценарии ветвления семейств несимметричных равновесий (Куракин Л.Г., Курдоглян А. В.).

Рассмотрен эффект граничных условий плоского течения вязкой жидкости в кольце с проницаемой границей. Рассмотрены граничные условия, задающие полную скорость на входе, а на выходе - нормальное напряжение, либо тангенциальная скорость, либо касательное напряжение. Оказывается, оба набора граничных условий дестабилизируют основной поток по сравнению со случаем скорости, заданной на всей границе. В частности, показано, что даже классическое (чисто азимутальное) течение Куэтта-Тейлора становится неустойчивым к плоским возмущениям (Моргулис А.Б., Ильин К.).

2.2. Вычислительная математика (п. 1.1.2 ПФНИ 2021-2030гг.)

Разработаны методы приближённого решения сингулярных и гиперсингуларных интегральных уравнений на различных классах функций, с применением многочленов-рядов Чебышева. Коэффициенты разложения в ряды Чебышева указанных функций вычисляются с помощью квадратурных формул наивысшей алгебраической степени точности, т.е. квадратурными формулами Гаусса. В результате решается бесконечная система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения неизвестной функции. Построенные вычислительные схемы теоретически обоснованы. Приведена оценка погрешности вычисления при некоторых условиях относительно правой части и ядра. Изложенные методы решения указанных уравнений иллюстрированы на тестовых примерах, которые показали высокую эффективность (Хубежты Ш.С.).

2.3. Математическое моделирование (п. 1.1.3 ПФНИ 2021-2030гг.)

Результаты математического моделирования показали, что под влиянием некоторых «значительных» событий в 40 % постсоветских стран наблюдалось быстрое изменение характера взаимодействия элиты и народа; региональные особенности оказывают некото-рое влияние на взаимодействие элиты и народа; тип правления не оказывает существенного влияния на взаимодействие элиты и народа, Полученные результаты являются новыми и могут рассматриваться политологами как дополнительная информация для анализа процессов в постсоветских странах (Е. К. Басаева, Е. С. Каменецкий, З. Х. Хосаева).

Предложена модель сплошной социальной стратификации, описывающая динамику системы из двух социумов, связанных через процесс миграции населения. Рассмотрен случай пространственно-однородных коэффициентов, что соответствует частному случаю небольшого социума. Проведено численное исследование системы с миграцией при различных значениях параметров, проанализировано влияние интенсивности миграции на принимающее общество, найдены условия дестабилизации общества-акцептора под влиянием миграции (Казарников А.В.).

С помощью регрессионной модели было осуществлено прогнозирование уровня безработицы в СКФО под влиянием изменения ВРП, инвестиций в основной капитал и выпуска квалифицированных рабочих и служащих для 2021-2023 гг. Прогнозирование изменения влияющих на безработицу факторов также осуществлялось с использованием линейной регрессии. Получены варианты прогноза с учетом влияния пандемии на рост безработицы и без такого учета, что позволило оценить границы возможного диапазона, в котором будет находится уровень безработицы (Минасян Д.Г. с Итаровой Т.Ю., Ивановой Е.Ю., Елоевой А.С.)

По результатам компьютерного моделирования распространения загрязняющих ве-ществ (ЗВ) и течений атмосферы построена карта распределения ЗВ по склонам Курта-тинского и Алагирского ущелий (Республика Северная Осетия-Алания), а также близле-жащих равнинных территорий. Сопоставление расчетных и натурных измерений концен-траций ЗВ, а также измеряемых наземными метеостанциями скоростей и направлений ветра с результатами моделирования дают удовлетворительное согласие. Аналогичное сопоставление результатов моделирования и натурных данных по скорости и направлению ветра, измеряемых метеоспутниками, показывает несколько худшее, но удовлетворительное согласие (Радионов А.А.).

Проведен анализ пространственного и временного распределения характеристик ат-мосферы в РСО-Алания на основе спутниковых данных MODIS космических аппаратов Terra/AQUA (NASA). Получены 20-летние ряды данных, состоящие из временных рядов ежедневных значений нормализованного разностного вегетационного индекса NDVI, которые представляет собой количественную характеристику запасов фитомассы, а также температуры на высоте 2 метра и количества осадков. Полученные временные ряды еже-годных осредненных значений каждой из характеристик статистически обрабатывались с использованием библиотек алгоритмов Scipy, Numpy. Для горных и равнинных районов Северного Кавказа найдены статистически значимые связи. Проведен анализ временных трендов изменений этих величин (Радионов А.А.).

2.4. Механика деформирования и разрушения материалов, сред, изделий, конструкций, сооружений и триботехнических систем при механических нагрузках, воздействии физических полей и химически активных сред (п. 2.3.1.3. ПФНИ 2021-2030гг.)

Предложены новые итеративно-регуляризованные подходы к идентификации неоднородного двумерного остаточного напряженного состояния в пластине; одновременному восстановлению двух термомеханических характеристик стержня. Исследована геометрическая обратная задача о восстановлении расположения и размера отслоения по волновому полю на внешней границе неоднородного цилиндрического волновода при учете затухания. В плоской постановке исследованы контактные задачи для неоднородной упругой полосы (изотропной и отротропной) и штампа с гладким основанием. На основе градиентной теории упругости исследованы масштабные эффекты, возникающие при термоупругом деформировании слоистых структур (Ватульян А.О., Недин Р.Д., Нестеров С.А., Юров В.О., Явруян О.В., Карякин М.И., Плотников Д.К.).

Исследованы масштабные эффекты, возникающие при термоупругом деформировании слоистых тел (цилиндра и прямоугольника). Для учета масштабных эффектов применяется однопараметрическая градиентная теория термоупругости. Перемещения и напря-жения представлены в виде суммы решений задачи термоупругости в классической по-становке и градиентных частей. Показано отличие распределений перемещений и напряжений, найденных на основе решений задачи в классической постановке и в градиентной постановке. Выяснено, что напряжения Коши испытывают скачок на границе слоев, что объясняется непрерывностью перемещений и их первых производных. При увеличении безразмерного масштабного параметра снижаются значения перемещений и полных напряжений, однако возрастают моментные напряжения (Ватульян А.О., Нестеров С.А., Юров В.О.)

Рассматривается задача об установившихся продольно-радиальных колебаниях упругого полого цилиндра с вязкоупругим покрытием. Торцы цилиндра находятся в условиях скользящей заделки. В рамках модели стандартного вязкоупругого тела, следуя принципу соответствия, переменные параметры Ламе заменены на комплексные функции радиальной координаты и частоты колебаний. Решение получено с использованием двух подходов. В рамках первого подхода решение строится с помощью метода разделения переменных и сводится к набору краевых задач для канонических систем дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Далее каждая из этих задач решается численно методом пристрелки. Второй подход основан на методе конечных элементов, реализованном в пакете FlexPDE. Проведено сравнение найденных решений при заданных законах изменения характеристик неоднородности и фиксированной частоте (Ватульян А.О., Дударев В.В.).

Исследована обратная задача об одновременной идентификации двух термомеханических характеристик функционально-градиентного стержня по дополнительной информации, полученной в результате проведения двух вычислительных экспериментов с различным типом торцевой нагрузки. Прямые задачи после обезразмеривания и преобразования Лапласа решались на основе метода пристрелки и обращении трансформант на основе разложения оригинала в ряд по смещенным многочленам Лежандра. Для нахождения двух поправок термомеханических характеристик в итерационном процессе получена система интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода. Проведены эксперименты по одновременной реконструкции двух характеристик (коэффициента теплопроводности и удельной теплоемкости), имеющих, как одинаковые законы неоднородности, так и разные. Вычислительные эксперименты показали высокую точность реконструкции монотонных функций (Ватульян А.О., Нестеров С.А.).

Исследована задача о восстановлении расположения и размера отслоения по волно-вому полю на внешней границе неоднородного цилиндрического волновода при учете затухания в рамках концепции комплексных модулей. Решение прямой задачи построено при помощи метода граничных элементов. Для решения обратной задачи получена и ис-пользована асимптотическая по параметру размера отслоения формула. Изучено влияние затухания и удаленности отслоения от источника колебаний на результаты восстановления двух параметров отслоения. Проведена серия вычислительных экспериментов (Ватульян А.О., Юров В.О.).

В рамках градиентной теории упругости проведено исследование задачи о колебаниях слоя с расслоением на нижней границе. Сформулировано граничное интегральное уравнение, осуществлена его дискретизация на базе многочленов Чебышева и метода кол-локаций. Проведен асимптотический анализ задачи для трещины малого относительного размера, получены аналитические выражения для функции раскрытия трещины в зависимости от соотношения параметров - частоты колебания, градиентного параметра, длины расслоения. Получены выражения для расчета напряжения в окрестности вершины трещины, которые могут выступать в качестве новых критериев прочности (Ватульян А.О., Явруян О.В.).

В плоской постановке исследованы контактные задачи для неоднородной упругой полосы (изотропной и отротропной) и штампа с гладким основанием. С помощью преобразования Фурье построена система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно трансформант компонент вектора смещений и тензора напряжений. На основе метода пристрелки построен символ ядра интегрального уравнения. Проведен асимптотический анализ символа ядра при малых и больших значениях пара-метра преобразования. Представлена вычислительная схема на основе метода граничных элементов построения решения интегрального уравнения контактной задачи с неизвестной областью контакта. Представлены результаты решения контактной задачи для разных законов неоднородности (Ватульян А.О., Плотников Д.К.).

На основе линеаризованной краевой задачи для предварительно напряженного упругого тела сформулированы и исследованы прямая и обратная задачи для планарных колебаний предварительно напряженной тонкой пластины. Приводятся вариационная и слабая формулировки прямой задачи. Предлагается новая итеративно-регуляризованная схема решения интегрально-дифференциального уравнения, возникающего в обратной задаче идентификации двумерного остаточного напряженного состояния в пластине на основе данных измерений перемещений, заданных на некоторой части границы в частотном диапазоне (Недин Р.Д.).

2.5. Информационно-вычислительные системы и среды в науке и образовании (п. 1.1.8 ПФНИ 2021-2030гг.)

Выявлен историогенез, характеристики, методология (принципы, подходы, стратегии), средства, технология и этапы формирования функциональной (математической) грамотности обучающихся на основе исследования сложного знания (современных достижений в науке) в процессе обучения математике. Выявлены критерии и характеристики освоения «проблемных зон» освоения математики (содержательный, процессуальный и личностный аспекты) средствами актуализации и адаптации современных достижений в науке к школьной математике. Выявлены профессиональные дефициты педагогов (предметные и методические) и их измерители в решении проблем освоения и адаптации сложного знания (современных достижений в науке) как фактора эффективности формирования функциональной (математической) грамотности обучающихся. Выявлен феномен формирования математической грамотности как аттрактора процессов адаптации сложно-го знания средствами фундирующих комплексов практико-ориентированных подзадач освоения сложного знания. Разработаны дидактические и структурно-функциональные модели формирования функциональной (математической) грамотности обучающихся на основе освоения сложного знания и адекватных универсальных учебных действий (Смирнов Е.И., Абатурова В.С.)

Выделено три этапа развития способов контроля методической подготовки студен-тов: 1) ограничивается зачетами, экзаменами, контрольными работами; 2) добавляется контроль индивидуальной работы; 3) добавляется контроль работы над материалами лекций и контроль группового выполнения практических заданий. Выделены направления цифривизации подготовки учителя математики: цифривизация знаний, цифривизация технологий обучения, цифривизация методического сопровождения. Показаны способы реализации трендов образования: тенденция к недирективным форматам; спрессованность времени; управление знаниями; персонализированное обучение; смешанное обучение; умение договариваться в горизонтальном взаимодействии; микрообучение; геймификация; обучение в течение жизни. Выделены способы организации учебного диалога со студентами в двух ситуациях: студенты даже частично не могут создать фрагмент текста лекции, студенты могут создать фрагмент текста лекции. Сформулированы требования к организации диалоговых лекций с использованием компьютерной презентации. Выявлены проблемы организации смыслового чтения у будущих учителей информатики и определены способы решения этих проблем. Подтверждена эффективность выделения объектов смыслового чтения (Малова И.Е.)