В период с 28 мая по 1 июня 2023 года на территории оздоровительного комплекса «Радуга» Донского государственного технического университета (с. Дивноморское Геленджикского района Краснодарского края) состоялась работа XVII Всероссийской школы «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». 

Организаторами мероприятия выступили Южный федеральный университет и Донской государственный технический университет. 

В работе школы приняли участие семь научных сотрудников отдела дифференциальных уравнений ЮМИ ВНЦ РАН. 

Заведующий отделом дифференциальных уравнений ЮМИ ВНЦ РАН, д.ф.-м.н., профессор Ватульян Александр Ованесович выступил с пленарным докладом на тему «О некоторых аспектах исследования обратных коэффициентных задач» на секции «Математическое моделирование сред сложной структуры». Доклад состоялся 29 мая 2023 года в очном формате. В докладе представлены различные аспекты исследования обратных коэффициентных задач по восстановлению переменных характеристик для различных моделей механики связанных полей (термоупругость, электроупругость, пороупругость). При этом дополнительная информация задается в виде амплитудно-частотных характеристик, измеренных на некоторой части границы исследуемого объекта. Отмечена билинейность операторов, сформулированы слабые постановки, представлены итерационные процессы, базирующиеся на операторном методе Ньютона. Сформулированы системы операторных уравнений первого рода с компактными операторами, произведен сравнительный анализ ядер, базирующийся на введенном ранее понятии чувствительности и позволяющий выявить наиболее эффективные с точки зрения реконструкции виды воздействия. Представлены примеры для стержневых моделей. 

Научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений, к.ф.-м.н. Ревина Светлана Васильевна выступила с докладом «Диффузионная неустойчивость в однопараметрической системе Гирера—Мейнхардта» на секции «Математическое моделирование живых систем». Доклад состоялся 29 мая 2023 года в очном формате. В докладе говорилось о том, что для системы реакции-диффузии с параметром релаксации была найдена область необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга, а также явное выражение критического коэффициента диффузии через собственные значения оператора Лапласа, когда пространственная переменная принадлежит произвольной ограниченной m-мерной области. Установлена зависимость критического коэффициента диффузии от характерного размера области для случаев отрезка и прямоугольника. Методом Ляпунова-Шмидта получены вторичные Тьюринговы структуры, а также условия мягкой и жесткой потери устойчивости. 

Старший научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений Недин Ростислав Дмитриевич выступил с докладом «О моделировании и идентификации полей предварительных напряжений в упругих телах» на секции «Математическое моделирование сред сложной структуры». Доклад состоялся 29 мая 2023 года в очном формате. В докладе были представлены модели упругих тел при наличии полей предварительных напряжений (ПН), включая цилиндрические толстостенные и тонкостенные трубки и пластинки; разработана модель деформирования решетчатой пластины склеры глаза (РПСГ) как упругой неоднородной пластины в рамках гипотез деформирования Тимошенко-Миндлина, позволяющая учесть в явном виде ее геометрические особенности на основе анализа опубликованных в литературе снимков, неоднородность материальных характеристик и наличие предварительных напряжений. Разработаны некоторые подходы к идентификации неоднородных распределений ПН в изучаемых телах на основе проекционных и итерационно-регуляризационных алгоритмов по данным об измеренных амплитудах смещений в ходе проведения частотного поверхностного зондирования, проведена серия вычислительных экспериментов по восстановления ПН различных типов в рассмотренных структурах. 

Ведущий научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений, д.ф.-м.н. Куракин Леонид Геннадьевич принял участие в работе школы как соавтор двух докладов, сделанных младшим научным сотрудником отдела дифференциальных уравнений Айком Варужановичем Курдогляном и доцентом Института математики, механики и компьютерных наук ЮФУ Ириной Владимировной Островской. 

Доклад А.В. Курдогляна «Исследование бифуркаций в окрестности косимметричного равновесия динамической системы с обратимой косимметрией» состоялся 29 мая 2023 года в очном формате и был посвящен развитию общей теории бифуркаций в окрестности косимметричного равновесия. Применялся метод центрального многообразия и были разобраны случаи малых коразмерностей вырождения. Рассматривалась система дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве с нулевым равновесием и многомерным малым параметром. Предполагалось, что эта система обладает обратимой косимметрией, которая обращается в ноль на нулевом равновесии. Показано, что наиболее невырожденным из таких уравнений, требующим исследования, является система с двумерным ядром, чей спектр устойчивости состоит из устойчивой части и двукратного нулевого собственного значения. Исследованы бифуркации спрямляемого семейства равновесий такой системы, когда ее коразмерность вырождения не превышает двух. 

Основное содержание второго доклада (совместного с И.В. Островской) связано с исследованием авторов задачи устойчивости двух точечных вихрей и подвижного цилиндра. Различались случаи нулевой и произвольной циркуляции вокруг цилиндра. Кроме того, был дан обзор задач устойчивости в проблеме Томсоновского N-угольника в случае неподвижного цилиндра. 

Старший научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений, к.ф.-м.н. Юров Виктор Олегович принял участие в работе школы как соавтор двух докладов. Первый доклад, совместный с А.О. Ватульяном на тему "О восстановлении электроупругих свойств неоднородного стержня" состоялся 29 мая 2023 года в очном формате и был посвящен решению обратной задачи о восстановлении упругой податливости и пьезомодуля в виде функций осевой координаты продольно поляризованного стержня, совершающего установившиеся колебания. В качестве входной информации использованы амплитудно-частотные характеристики тока и перемещений, определяемые при зондировании электрическим и силовым способами. Построены асимптотические разложения для амплитудно-частотных характеристик. Получена система интегральных уравнений первого рода с гладкими ядрами для нахождения поправок к искомым функциям. Реализован итерационный процесс одновременного восстановления двух функций. Приведены результаты вычислительных экспериментов. 

Второй доклад, совместный с ассистентом Научно-образовательного центра "Школа молодого преподавателя ЮФУ" Варченко Анастасией Андреевной на тему "О способах восстановления реологических свойств функционально-градиентных балок", состоялся 29 мая 2023 года в очном формате и был посвящен решению обратных задач для неоднородной вязкоупругой балки в первой и второй постановках. Установившиеся колебания балки описаны моделями Бернулли-Эйлера и Тимошенко. Реологические свойства моделируются в рамках концепции комплексных модулей и модели стандартного вязкоупругого тела. Для обеих моделей в рамках первой постановки решена обратная задача по восстановлению комплексного модуля упругости при зашумлении входных данных. Также для обеих моделей решена обратная задача во второй постановке, где при заданном времени релаксации одновременно восстановлены мгновенный и длительный модули упругости. Для этого путем разделения вещественной и мнимой части построена система интегральных уравнений первого рода с гладкими ядрами. Обратная задача решена итерационным образом с использованием метода регуляризации А.Н. Тихонова. Проведена серия вычислительных экспериментов. 

Подробная информация о мероприятии - на сайте школы.