1. ВАЖНЕЙШИЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1.1. Теоретическая математика (п. 1.1.1 ПФНИ 2021-2030)
Доказана точная спектральная асимптотика для собственных значений и установлена формула регуляризованного следа дифференциального оператора четвертого порядка с негладкими вещественными коэффициентами и краевыми условиями типа Неймана-Дирихле. Предшествующие результаты по данному направлению относились только к главному члену асимптотики собственных значений этого оператора. В общем случае суммируемых коэффициентов установлен второй член в асимптотике собственных значений. Полученные результаты позволяют описать динамику поведения тонких полимерных пленок в стадии обезвоживания при процессах нанесения покрытия или печати (Поляков Д.М.).
Изучены новые обратные коэффициентные задачи для ряда структур с неоднородными физико-механическими свойствами. Разработаны методы решения задач для тел, обладающих пиро- и пьезоэффектом и начальными напряжениями. Сформированы итерационные процессы типа операторного метода Ньютона, проведены вычислительные эксперименты, использующие регуляризующие и эволюционные алгоритмы, изучено влияние граничных условий и частотных диапазонов на результаты реконструкции. Новизна исследований определяется совершенствованием итерационных и проекционных методов решения коэффициентных обратных задач для операторов эллиптического типа с переменными коэффициентами, анализом влияния граничных воздействий на результаты реконструкции, выявлением наиболее эффективных режимов комбинированного зондирования. Практическая значимость полученных результатов определяется возможностью применения разработанных методов и алгоритмов исследования обратных задач к созданию теоретической базы для определения неоднородных свойств элементов конструкций из новых материалов, в том числе при наличии предварительных напряжений, связанности теплового, механического и электрического полей, физической нелинейности (Ватульян А.О., Недин Р.Д., Юров В.О., Карякин М.И., Нестеров С.А., Явруян О.В.).
2. ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
2.1. Теоретическая математика (п. 1.1.1 ПФНИ 2021-2030гг.)
Упорядоченные пространства, мажорируемые операторы и операторные алгебры. Для заданных целых положительных числа N, n таких, что N < n и N орторегулярных однородных полиномов одной и той же степени, действующих между Архимедовыми векторными решетками, а также являющихся попарно независимыми в некотором смысле, установлено, что сумма таких полиномов, каждый из которых при этом возведен в степень n и умножен на ортоморфизм, является ортогонально аддитивной в том и только том случае, когда все эти полиномы, умноженные на соответствующие ортоморфизмы, сохраняют дизъюнктность (Кусраева З.А.).
Для заданных трех натуральных чисел N, n, m порядково ограниченный ортогонально- аддитивный полином, представим в виде суммы n-х степеней N порядково ограниченных m-однородных полиномов тогда и только тогда, когда он mn-однороден и N-дизъюнктен (Кусраева З.А.).
Моном в конечном наборе однородных полиномов является поточечным произведением этих полиномов, каждый из которых возведен в некоторую степень. Установлено, что для заданного конечного набора положительных линейных операторов, действующих из архимедовой векторной решетки в равномерно полную векторную решетку, соответствующий моном ортогонально аддитивный полином тогда и только тогда, когда совокупность этих операторов сохраняет дизъюнктность. Более того, результат остается справедливым, если заменить линейные операторы однородными ортогонально аддитивные полиномы (Кусраева З.А., Тамаева В.А.).
Исследованы обертывающие нормы и проблема мажорирования в линейных оболочках положительных операторов, аффилированных к свойствам банаховых решеток таким, как дуальное и дуально-дизъюнктное свойства Шура, би-секвенциальное свойство, свойство Бургейна - Дистеля, а также ряду других свойств (Горохова С.Г., Емельянов Э.Ю.).
Изучена статистическая сходимость в абстрактных векторных решетках. Установлено, что для решеточных гомоморфизмов статистическая порядковая секвенциальная непрерывность эквивалентна порядковой секвенциальной непрерывности. Найдены условия, при которых статистическая порядковая секвенциальная непрерывность сохраняется при переходе к сопряженным операторам (Горохова С., Aydin A., Selen R., Solak S.).
Установлено, что в пространстве Кете-Банаха с абсолютно непрерывной нормой на отрезке [0, 1] тождественный оператор может - быть представлен в виде суммы двух узких линейных операторов (Плиев М., Sukochev F).
Найден критерий диффузности регулярного ортогонально аддитивного оператора, действующего из векторной решетки в порядково полную векторную решетку (Плиев М. А., Абасов Н.М., Джусоева Н.А.).
Найден критерий диффузности регулярного ортогонально аддитивного оператора, действующего из векторной решетки в порядково полную векторную решетку (Плиев М. А., Абасов Н.М., Джусоева Н.А.).
Установлено, что каждый регулярный ортогонально аддитивный оператор, действующий из векторной решетки с проекциями на главные полосы в банахову решетку с порядково непрерывной нормой допускает однозначное представление в виде суммы атомического и узкого ортогонально аддитивных операторов (Плиев М., Popov M).
Установлено, что каждый осколочно компактный порядково по норме непрерывный линейный оператор, действующий из комплексификации равномерно полной векторной решетки в банахово пространство является узким (М. Плиев, N. Dzhusoeva, J. Huang, M. Pliev, F. Sukochev).
Установлено, что каждый линейный ограниченный оператор, действующий из пространства интегрируемых по Бохнеру вектор-функций, принимающих значение в рефлексивном банаховом пространстве, в пространство сходящихся к нулю последовательностей будет мажорируемым тогда и только тогда, когда он является оператором Данфорда-Петтиса (М. Плиев, J. Huang, F. Sukochev).
Установлено, что каждый латеральный идеал в векторной решетке является ядром положительного ортогонально аддитивного оператора (М. Плиев, V. Mykhaylyuk, M. Popov).
Дифференциальная геометрия. Осуществлена стратификация классических связных компактных групп Ли. Стратом наибольшей размерности каждой такой группы Ли является диффеоморфный образ ее алгебры Ли относительно преобразования Кэли, состоящий в точности из матриц, допускающих (обратное) преобразование Кэли. Дальнейшая стратификация произведена на подмножестве исключительных матриц группы Ли, т.е. подмножестве всех матриц, не допускающих преобразования Кэли. Основное внимание уделено группам Ли унитарных матриц. Как следствие, получено описание топологической структуры множеств исключительных унитарных операторов в двумерных и трехмерных комплексных векторных пространствах; первое из них реализовано ранее физиками как конформная бесконечность пространства Минковского (Никоноров Ю.Г., Берестовский).
Исследованы совершенные и почти совершенные однородные многогранники в евклидовых пространствах. Невырожденный однородный многогранник P в евклидовом пространстве называется совершенным (почти совершенным), если любая гиперповерхность второго порядка (соответственно, любая гиперповерхность второго порядка, симметричная относительно центра многогранника P), которая содержит все вершины многогранника P, является его описанной гиперсферой. Были классифицированы совершенные и почти совершенные многогранники среди всех правильных многогранников, а также среди всех полуправильных многогранников за исключением архимедовых тел и двух четырехмерных многогранников Госсета. Помимо этого, построены примеры совершенных однородных многогранники, не являющихся полуправильными, а также сформулирован ряд вопросов, которые могут послужить отправными точками дальнейших исследований (Никоноров Ю.Г., Берестовский).
Исследована задача минимизации периметра среди всех n-угольников на евклидовой плоскости с фиксированным собственным чебышёвским радиусом границы. Указанная задача была полностью решена для n=4, а именно, было доказано, что четырехугольником минимального периметра при заданном собственным чебышёвским радиусом границы является так называемый «волшебный змей» («magic kite»), что подтвердило поставленную ранее гипотезу Рольфа Вальтера (Rolf Walter). Кроме того, были выдвинуты некоторые гипотезы относительно вида оптимального в рассматриваемом смысле n-угольника для некоторых n, превышающих 4 (Никоноров Ю.Г., Никитенко Е.В.).
Комплексный анализ. Получены абстрактные критерии компактности произвольного линейного оператора на произвольном квазибанаховом пространстве, формулируемые в терминах дельта-функций, и их конкретные реализации в классическом и обобщенном пространствах Фока. Указанные результаты применены к оператору весовой композиции. Сформулированы условия компактности данного оператора в терминах норм дельта-функций в соответствующих сопряженных пространствах, что существенно обобщает известные результаты Н. Зорбоска (А.В. Абанин, Ю.В. Кораблина).
Исследованы динамические свойства операторов дифференцирования и интегрирования на весовых пространствах целых функций общего вида. За счет использования сопряженных по Юнгу с функциями, определенным образом построенными по весам, для норм степеней таких операторов установлены оценки снизу и показано, что при некоторых общих дополнительных ограничениях на веса эти оценки превращаются в асимптотические равенства. В качестве приложений установлены условия на веса, при которых операторы дифференцирования или интегрирования являются степенно ограниченным или равномерно эргодическими в среднем на соответствующих пространствах. Показано, что полученные результаты содержат предшествующие в качестве частных случаев (А.В. Абанин, В.О. Костина).
Дана характеризация линейно связных компонент множества всех композиционных операторов в шкалах пространств Бергмана и Фока. Доказано, что множества компактных композиционных операторов образуют компоненты в каждом из пространств шкалы. В то же время, установлено, что множества компактных весовых композиционных операторов линейно связны, но не образуют компонент в указанных пространствах. Получены необходимые и достаточные условия для изолированных композиционных операторов (А.В. Абанин, Ле Хай Хой, Фам Тронг Тиен).
Полностью охарактеризованы собственные замкнутые инвариантные подпространства оператора обобщенного обратного сдвига (оператора Поммье) в пространстве Фреше всех функций, голоморфных в односвязной области комплексной плоскости, содержащей начало. В случае, когда порождающая этот оператор функция в области не имеет нулей, все такие подпространства являются конечномерными и задаются конечным числом полюсов и порядками соответствующих рациональных функций. Если эта функция имеет нули в данной области, то к подпространствам указанного типа добавляются и бесконечномерные подпространства, определяемые ее нулями (С.Н. Мелихов, О.А. Иванова).
Описаны циклические векторы и собственные замкнутые инвариантные подпространства оператора обратного сдвига в модулях Шварца целых функций экспоненциального типа. Получены приложения к описанию идеалов алгебр, образованных пространством бесконечно дифференцируемых функций на отрезке или на интервале, содержащем точку 0, умножением в котором является произведение Дюамеля (С.Н. Мелихов, О.А. Иванова).
Изучены операторы адамаровского типа в пространствах всех функций, голоморфных в открытом шаре многомерного комплексного пространства. Получено представление таких операторов в виде мультипликативной свертки. Доказано, что пространство операторов адамаровского типа из одного упомянутого выше пространства в другое с топологией ограниченной сходимости топологически изоморфно сильному сопряженному к пространству ростков всех функций, голоморфных на замкнутом поликруге (С.Н. Мелихов, О.А. Иванова).
В пространстве ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа на числовой прямой рассмотрен несюръективный оператор свертки. Установлены необходимые и отдельно достаточные условия на символ, при которых образ оператора содержит в себе аналогичное пространство, порождаемое некоторой другой весовой функцией и некоторого другого нормального типа. В качестве частного случая данные результаты содержат в себе ранее известный критерий сюръективности оператора свертки в рассматриваемых пространствах. Кроме того, получен критерий того, что образ оператора содержит в себе пространство ультрадифференцируемых функций Берлинга максимального типа (Д.А. Полякова).
Установлены необходимые условия непрерывности композиционных операторов в пространствах Шварца ультрадифференцируемых функций (Д.А. Полякова).
Синтетические методы алгебры, анализа и математической логики. Теорема Стоуна-Вейерштрасса распространена на функции с решёточное нормированным пространством в области определения и допускающих порядковое, а не топологическое приближение (Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С.).
Исследованы динамические свойства операторов дифференцирования и интегрирования на весовых пространствах целых функций общего вида. За счет использования сопряженных по Юнгу с функциями, определенным образом построенными по весам, для норм степеней таких операторов установлены оценки снизу и показано, что при некоторых общих дополнительных ограничениях на веса эти оценки превращаются в асимптотические равенства. В качестве приложений установлены условия на веса, при которых операторы дифференцирования или интегрирования являются степенно ограниченным или равномерно эргодическими в среднем на соответствующих пространствах. Показано, что полученные результаты содержат предшествующие в качестве частных случаев (А.В. Абанин, В.О. Костина).
Дана характеризация линейно связных компонент множества всех композиционных операторов в шкалах пространств Бергмана и Фока. Доказано, что множества компактных композиционных операторов образуют компоненты в каждом из пространств шкалы. В то же время, установлено, что множества компактных весовых композиционных операторов линейно связны, но не образуют компонент в указанных пространствах. Получены необходимые и достаточные условия для изолированных композиционных операторов (А.В. Абанин, Ле Хай Хой, Фам Тронг Тиен).
Полностью охарактеризованы собственные замкнутые инвариантные подпространства оператора обобщенного обратного сдвига (оператора Поммье) в пространстве Фреше всех функций, голоморфных в односвязной области комплексной плоскости, содержащей начало. В случае, когда порождающая этот оператор функция в области не имеет нулей, все такие подпространства являются конечномерными и задаются конечным числом полюсов и порядками соответствующих рациональных функций. Если эта функция имеет нули в данной области, то к подпространствам указанного типа добавляются и бесконечномерные подпространства, определяемые ее нулями (С.Н. Мелихов, О.А. Иванова).
Описаны циклические векторы и собственные замкнутые инвариантные подпространства оператора обратного сдвига в модулях Шварца целых функций экспоненциального типа. Получены приложения к описанию идеалов алгебр, образованных пространством бесконечно дифференцируемых функций на отрезке или на интервале, содержащем точку 0, умножением в котором является произведение Дюамеля (С.Н. Мелихов, О.А. Иванова).
Изучены операторы адамаровского типа в пространствах всех функций, голоморфных в открытом шаре многомерного комплексного пространства. Получено представление таких операторов в виде мультипликативной свертки. Доказано, что пространство операторов адамаровского типа из одного упомянутого выше пространства в другое с топологией ограниченной сходимости топологически изоморфно сильному сопряженному к пространству ростков всех функций, голоморфных на замкнутом поликруге (С.Н. Мелихов, О.А. Иванова).
В пространстве ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа на числовой прямой рассмотрен несюръективный оператор свертки. Установлены необходимые и отдельно достаточные условия на символ, при которых образ оператора содержит в себе аналогичное пространство, порождаемое некоторой другой весовой функцией и некоторого другого нормального типа. В качестве частного случая данные результаты содержат в себе ранее известный критерий сюръективности оператора свертки в рассматриваемых пространствах. Кроме того, получен критерий того, что образ оператора содержит в себе пространство ультрадифференцируемых функций Берлинга максимального типа (Д.А. Полякова).
Установлены необходимые условия непрерывности композиционных операторов в пространствах Шварца ультрадифференцируемых функций (Д.А. Полякова).
Синтетические методы алгебры, анализа и математической логики. Теорема Стоуна-Вейерштрасса распространена на функции с решёточное нормированным пространством в области определения и допускающих порядковое, а не топологическое приближение (Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С.).
Методы булевозначного анализа применены к Бэровским С*-алгебрам и алгебрам Жордана-Банаха. Эти алгебры трасформируются в AW*- и JB- факторы. Представление факторов в качестве операторных алгебр приводит к модулям Капланского-Гильберта. Получен обзор этих объектов (Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С.).
Получено описание неприводимых сетей аддитивных подгрупп над полем частных QR-кольца (введенного в работах R.Gilmer, J.Ohm). Таким образом, к ранее полученным результатам добавляется важнейший класс полей, а именно поле алгебраических чисел. Разработан метод исследования сетей, связанный с периодической группой класса идеалов коммутативного кольца (Койбаев В.А.).
Введен суперянгиан специальной линейной супералгебры в случае произвольной системы простых корней, сначала в терминах минималистской системы образующих и определяющих соотношений, а затем в терминах новой системы образующих Дринфельда. Было доказано, что определенные этими разными способами суперянгианы, изоморфны. Был построен изоморфизм между пополнениями суперянгиана и квантовой петлевой супералгебры. Была получена классификация структур супералгебры Хопфа на суперянгиане специальной линейной супералгебры (Стукопин В.А.).
Дифференциальные и интегральные уравнения. Изучены спектральные свойства дифференциального оператора четвертого порядка на графе с условиями трансмиссии упруго-шарнирного типа. Показано, что при некоторых условиях собственные значения и собственные функции соответствующего оператора на сети обладают осцилляционными свойствами: простота и положительность собственных значений; «перемежаемость» нулей собственных функций (Кулаев Р.Ч.).
Получены новые интегральные оценки и неравенства типа Фабэра-Крана в пространствах Орлича. Для оценки градиентов решения используется также методы О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой, В.А. Солонникова для регулярных уравнений и метод Е. Ди Бенедетто для вырождающихся параболических уравнений. Частный случай авторских результатов включает пример нелинейности типа Кальдерона –Зигмунда (А.Ф. Тедеев, А.И. Тедеев).
Получены точные оценки скорости стабилизации и установлены условия на нелинейности, при которых имеет место свойство локализации для решения задачи Коши для класса вязких уравнений типа Гамильтона-Якоби. Актуальность полученных результатов состоит в том, что регуляризация нелинейных гиперболических уравнений первого порядка типа Гамильтона-Якоби сводится к указанному классу уравнений с градиентным стоком. Поэтому влияние на качественном уровне диффузии и стока необходимо. Последнее сводится к нахождению критических показателей, характеризующих нелинейности диффузионного коэффициента и стока (А.Ф. Тедеев, Ал.Ф. Тедеев).
Получены необходимые и достаточные условия глобальной однозначной разрешимости обратных задач для динамических уравнений вязкоупругости с переменными коэффициентами. С помощью метода шкал банаховых пространств и метода весовых норм удается получить глобальные теоремы однозначную разрешимость обратных задач определения ядра интегрального оператора типа свертки в уравнении вязкоупругости для класса функций, аналитических по одним переменным и непрерывных по другим (Тотиева Ж.Д.).
Изучена многомерная обратная задача определения коэффициента поглощения для гиперболического уравнения второго порядка. Предполагается, что искомый коэффициент рассматриваемого уравнения непрерывен по переменным t, x и аналитичен по другим переменным в n-мерном пространстве. Для исследования корректности поставленной задачи применяется метод шкал банаховых пространств аналитических функций. Обратная задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Основными результатами являются теоремы локальной однозначной разрешимости и устойчивости обратной задачи (Тотиева Ж.Д.).
Получены априорные оценки модуля вещественной или мнимой части решения общей равномерно эллиптической линейной системы в единичном круге комплексной плоскости (С.Б. Климентов).
Получены новые интегральные оценки и неравенства типа Фабэра-Крана в пространствах Орлича. Для оценки градиентов решения используется также методы О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой, В.А. Солонникова для регулярных уравнений и метод Е. Ди Бенедетто для вырождающихся параболических уравнений. Частный случай авторских результатов включает пример нелинейности типа Кальдерона –Зигмунда (А.Ф. Тедеев, А.И. Тедеев).
Получены точные оценки скорости стабилизации и установлены условия на нелинейности, при которых имеет место свойство локализации для решения задачи Коши для класса вязких уравнений типа Гамильтона-Якоби. Актуальность полученных результатов состоит в том, что регуляризация нелинейных гиперболических уравнений первого порядка типа Гамильтона-Якоби сводится к указанному классу уравнений с градиентным стоком. Поэтому влияние на качественном уровне диффузии и стока необходимо. Последнее сводится к нахождению критических показателей, характеризующих нелинейности диффузионного коэффициента и стока (А.Ф. Тедеев, Ал.Ф. Тедеев).
Получены необходимые и достаточные условия глобальной однозначной разрешимости обратных задач для динамических уравнений вязкоупругости с переменными коэффициентами. С помощью метода шкал банаховых пространств и метода весовых норм удается получить глобальные теоремы однозначную разрешимость обратных задач определения ядра интегрального оператора типа свертки в уравнении вязкоупругости для класса функций, аналитических по одним переменным и непрерывных по другим (Тотиева Ж.Д.).
Изучена многомерная обратная задача определения коэффициента поглощения для гиперболического уравнения второго порядка. Предполагается, что искомый коэффициент рассматриваемого уравнения непрерывен по переменным t, x и аналитичен по другим переменным в n-мерном пространстве. Для исследования корректности поставленной задачи применяется метод шкал банаховых пространств аналитических функций. Обратная задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Основными результатами являются теоремы локальной однозначной разрешимости и устойчивости обратной задачи (Тотиева Ж.Д.).
Получены априорные оценки модуля вещественной или мнимой части решения общей равномерно эллиптической линейной системы в единичном круге комплексной плоскости (С.Б. Климентов).
Рассматривался двучленный дифференциальный оператор четвертого порядка на единичном отрезке с негладким вещественным потенциалом. Область определения задается одним типом регулярных краевых условий. Для этого оператора получена асимптотика собственных значений, как в общем случае, так и в случае гладкого потенциала. Кроме того, установлена формула следа (Д.М. Поляков).
Рассматривается нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой представлена суммой вектор-функций трех видов: линейной стационарной с матричным коэффициентом А и двух нелинейных быстро осциллирующих по времени, одна из которых остается ограниченной с ростом частоты осцилляций, а вторая – большая пропорциональна корню квадратному из этой частоты. Исследуется задача об ограниченных на положительной временной полуоси решениях этой системы, удовлетворяющих многоточечным краевым условиям, также зависящим от указанной высокой частоты осцилляций. Рассмотрены два случая: а) спектр матрицы А лежит в левой комплексной полуплоскости (в полуплоскости устойчивости) и б) он не содержит точек мнимой оси. Для рассматриваемой задачи с большим слагаемым построена предельная (усредненная) многоточечная краевая задача и обоснован предельный переход (метод усреднения). Тем самым для высокочастотных задач с большими нелинейными быстро осциллирующими по времени слагаемыми обоснован метод усреднения Крылова-Боголюбова (Левенштам В.Б.).
Найдена область необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга для системы Гирера–Мейнхардта с параметром релаксации на плоскости параметров системы. Получено явное выражение критического коэффициента диффузии, когда система рассматривается в произвольной ограниченной области. Показано, что критический коэффициент диффузии зависит от собственных значений оператора Лапласа в данной области. Установлена зависимость критического коэффициента диффузии от характерного размера области в случае отрезка и прямоугольника. Явно найдены выражения длины отрезка и длины стороны прямоугольника, при которых происходит «смена» критического волнового числа (Ревина С.В.).
Рассматривается динамическая система с косимметричным равновесием. Ее матрица линеаризации обладает двумерным ядром, а нейтральный спектр устойчивости состоит из двукратного нулевого собственного значения. Производится "близкая" к гомеоморфической классификация таких систем в нерассмотренном ранее случае двух вырождений, когда эта система обладает семейством некосимметричных равновесий вида окружность \ гипербола. Аналогичная классификация в окрестности косимметричного равновесия описанной системы во всех остальных случаях, когда имеется не более двух вырождений, проведена авторами ранее (Куракин Л.Г., Курдоглян А. В.).
Выпуклый анализ, теория оптимизации и теория приближений. Для управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с краевыми условиями общего вида определяется понятие локальной управляемости относительно произвольной непрерывной функции и понятие траектории геометрического локального инфимума. Эти понятия двойственны друг к другу в следующем смысле: либо управляемая система ОДУ локально управляема относительно данной функции, либо эта функция является траекторией геометрического локального инфимума. Данное обстоятельство тесно увязывает между собой вопросы о достаточных условиях локальной управляемости управляемых систем ОДУ и вопросы о необходимых условиях траектории локального инфимума (понятия, обобщающего понятие оптимальной траектории) в задачах оптимального управления. Полученные результаты усиливают и обобщают известные утверждения о достаточных условиях управляемости управляемых систем ОДУ и необходимых условиях оптимальности в задачах оптимального управления (Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г.).
Для управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с краевыми условиями общего вида доказывается специальная теорема о достаточных условиях локальной управляемости этой системы, которая позволяет получить в качестве непосредственного следствия необходимые условия второго порядка для траектории локального инфимума. Это функции, на которой достигается локальный минимум целевого функционала, но которая не является, вообще говоря, допустимой траекторией, а является лишь равномерным пределом таковых. Полученные результаты усиливают и обобщают утверждения относительно условий второго порядка ы оптимальном управлении (Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г.).
Найдены явные выражения для оптимальных методов восстановления в задаче восстановления значений линейных непрерывных операторов на соболевском классе функций по следующей информации: преобразование Фурье этих функций известно приближенно на некотором измеримом подмножестве конечномерного пространства, на котором заданы функции. Оптимальные методы используют не всю доступную информацию о преобразовании Фурье, а ту, которую используют «сглаживают». В качестве следствий получены оптимальные методы восстановления решения уравнения теплопроводности и решения задачи Дирихле для полупространства (Абрамова Е.В., Сивкова Е.О.).
Для однопараметрического семейства линейных непрерывных операторов ставится задача об оптимальном восстановлении оператора при данном значении параметра на классе функций, преобразования Фурье которых интегрируемы в квадрате со степенным весом по следующей информации: о каждой функции из этого класса известно (вообще говоря, приближенно) ее преобразование Фурье на некотором измеримом подмножестве. Построено семейство оптимальных методов восстановления операторов при каждом значении параметра. Оптимальные методы не используют всю доступную информацию о преобразовании Фурье функций из класса, а используют только информацию о преобразовании Фурье функции в некотором шаре с центром в нуле (Абрамова Е.В., Сивкова Е.О.).
Для однопараметрического семейства операторов на многообразии, которое представляем собой произведение конечного числа прямых и окружностей, решена задача наилучшего восстановления оператора при данном значении параметра по неточной информации об операторах при других значениях параметров из некоторого компакта. Построено семейство наилучших методов восстановления. Важно отметить, что оптимальные методы используют не более двух измерений, которые предварительно сглаживают. В качестве следствий получены семейства наилучших методов восстановления решений некоторых уравнений математической физики (Магарил-Ильяев Г.Г. Сивкова Е.О.).
Для однопараметрического семейства линейных непрерывных операторов ставится задача об оптимальном восстановлении оператора при данном значении параметра на классе функций, преобразования Фурье которых интегрируемы в квадрате со степенным весом по следующей информации: о каждой функции из этого класса известно (вообще говоря, приближенно) ее преобразование Фурье на некотором измеримом подмножестве. Построено семейство оптимальных методов восстановления операторов при каждом значении параметра. Оптимальные методы не используют всю доступную информацию о преобразовании Фурье функций из класса, а используют только информацию о преобразовании Фурье функции в некотором шаре с центром в нуле (Абрамова Е.В., Сивкова Е.О.).
Для однопараметрического семейства операторов на многообразии, которое представляем собой произведение конечного числа прямых и окружностей, решена задача наилучшего восстановления оператора при данном значении параметра по неточной информации об операторах при других значениях параметров из некоторого компакта. Построено семейство наилучших методов восстановления. Важно отметить, что оптимальные методы используют не более двух измерений, которые предварительно сглаживают. В качестве следствий получены семейства наилучших методов восстановления решений некоторых уравнений математической физики (Магарил-Ильяев Г.Г. Сивкова Е.О.).
Получены необходимые и достаточные условия на вес, при которых система Хаара образует базис в весовом пространстве Лебега с переменным показателем (Магомед-Касумов М.Г.).
Построены новые квадратурные формулы для сингулярных интегралов. Эффективность формул проверена на различных примерах. В случае весовой функции p(x)=1/(1-x^2) для гиперсингулярных интегралов построены квадратурные формулы с наперёд заданными узлами. Аналогичные формулы построены и в случае весовой функции p(x)=((1+x)/(1-x))^(1/2) на отрезке интегрирования [-1,1]. Оцениваются соответствующие остаточные члены (Хубежты Ш.С.).
2.2. Математическое моделирование (п. 1.1.3 ПФНИ 2021-2030гг.)
Разработан нейросетевой алгоритм, позволяющий с высокой точностью идентифицировать некоторых паразитов, приводящих к массовой гибели рыб в аквакультуре (представителей отряда Dactylogyridea) по фотографиям, сделанным через окуляр светового микроскопа. Для проведения классификации изображений обучена свёрточная нейронная сеть VGG-16. Биологический материал, используемый в работе, был получен в результате исследований, проводимых ЮНЦ РАН в 2019-2022 годах в дельте реки Дон, пр. Свиное гирло, и восточной части Таганрогского залива (Казарников А.В.).
Разработана математическая модель равновесия столба сжимаемого атмосферного воздуха. Аналитическое решение показывает, что адиабата сжимаемой атмосферы линейно уменьшается только в пределах тропосферы, выше которой адиабата имеет острый минимум приблизительно на высотах тропопаузы, а на высотах стратосферы адиабатическая температура увеличивается с высотой. Зависимость от времени найденной адиабаты в основном определяется граничными условиями на поверхности, но также есть пульсирующая от времени зависимость, проявляющаяся на больших промежутках времени, порядка сотен лет. При пульсации на всех высотах в атмосфере действует эндогенный источник тепла (не связанный с содержанием в атмосфере углерода), который сменяется на сток тепла такой же мощности во второй фазе пульсации (Радионов А.А.).
Разработана математическая модель равновесия столба сжимаемого атмосферного воздуха. Аналитическое решение показывает, что адиабата сжимаемой атмосферы линейно уменьшается только в пределах тропосферы, выше которой адиабата имеет острый минимум приблизительно на высотах тропопаузы, а на высотах стратосферы адиабатическая температура увеличивается с высотой. Зависимость от времени найденной адиабаты в основном определяется граничными условиями на поверхности, но также есть пульсирующая от времени зависимость, проявляющаяся на больших промежутках времени, порядка сотен лет. При пульсации на всех высотах в атмосфере действует эндогенный источник тепла (не связанный с содержанием в атмосфере углерода), который сменяется на сток тепла такой же мощности во второй фазе пульсации (Радионов А.А.).
На основании спутниковых данных дистанционного зондирования земли проведен статистический анализ сезонных изменений тропопаузы атмосферы для г. Владикавказ, Северный Кавказ, РФ. Приводится сезонная изменчивость тропопаузы на примере 2020 года, вычисленная по алгоритму отклонения от холодной точки. Статистическими методами анализируются временные тренды изменения характеристик тропопаузы (высота, температура): показано, что высота тропопаузы увеличивается, а ее температура в уменьшается, хотя найдены разнонаправленные тренды. Проведено сравнение наблюдаемой высоты холодной точки тропопаузы и прогнозом на основании теоретической адиабаты, показывающее удовлетворительное согласие (Радионов А.А.).
На основании спутниковых данных дистанционного зондирования земли проведен статистический анализ изменения индекса NDVI для степных районов Северного Кавказа и Юга России. Показано, что поведение тренда для индекса NDVI для предгорных и равнинных районов РСО-Алания свидетельствует о тенденции увеличения общего количества благоприятного для вегетации фитомассы времени, что указывает на долговременное изменение климатических условий для вегетации растений и изменении условий в холодные периоды года. Тренд на уменьшение количества осадков в совокупности с отрицательным трендом вегетационного индекса может давать основание для планирования дополнительных мелиорационных мероприятий. Показано, что в географических локациях, в которых присутствуют водные источники (реки, водохранилища), тренд на уменьшение NDVI гораздо слабее или дажеменяется на восходящий тренд (Радионов А.А., Минасян Д.Г.).
При помощи численной модели атмосферы в горных ущельях составлен прогноз по содержанию пыли рассеиваемой от Унальского хвостохранилища на склонах Алагирского ущелья и выходе на равнину из этого ущелья. В модели учтены основные факторы: горный ландшафт местности, приземные розы ветров, турбулентность и процессы осаждения твердой фазы хвостов. Определены наиболее неблагоприятные направления ветра, при возникновении которых пыль переносится в сторону густонаселенных районов на равнине. Спутниковые измерения используются для определения вероятности возникновения таких ветров. Перенос пыли и химических веществ на склонах горных ущелий определяются не столько расстоянием от хвостохранилища, сколько топографией и преобладающей в этой области розой ветров. На основе этой же модели составлен прогноз по содержанию радона в Алагирском горном ущелье от источника в районе рекультивированного Унальского хвостохранилища. Определены модельные розы ветров вблизи хвостохранилища, сравнение которых с полевыми измерениями показывает хорошее совпадение, а сравнение с измерениями метеоспутников показывает качественное согласие (Каменецкий Е.С., Радионов А.А.).
На основании спутниковых данных дистанционного зондирования земли проведен статистический анализ изменения индекса NDVI для степных районов Северного Кавказа и Юга России. Показано, что поведение тренда для индекса NDVI для предгорных и равнинных районов РСО-Алания свидетельствует о тенденции увеличения общего количества благоприятного для вегетации фитомассы времени, что указывает на долговременное изменение климатических условий для вегетации растений и изменении условий в холодные периоды года. Тренд на уменьшение количества осадков в совокупности с отрицательным трендом вегетационного индекса может давать основание для планирования дополнительных мелиорационных мероприятий. Показано, что в географических локациях, в которых присутствуют водные источники (реки, водохранилища), тренд на уменьшение NDVI гораздо слабее или дажеменяется на восходящий тренд (Радионов А.А., Минасян Д.Г.).
При помощи численной модели атмосферы в горных ущельях составлен прогноз по содержанию пыли рассеиваемой от Унальского хвостохранилища на склонах Алагирского ущелья и выходе на равнину из этого ущелья. В модели учтены основные факторы: горный ландшафт местности, приземные розы ветров, турбулентность и процессы осаждения твердой фазы хвостов. Определены наиболее неблагоприятные направления ветра, при возникновении которых пыль переносится в сторону густонаселенных районов на равнине. Спутниковые измерения используются для определения вероятности возникновения таких ветров. Перенос пыли и химических веществ на склонах горных ущелий определяются не столько расстоянием от хвостохранилища, сколько топографией и преобладающей в этой области розой ветров. На основе этой же модели составлен прогноз по содержанию радона в Алагирском горном ущелье от источника в районе рекультивированного Унальского хвостохранилища. Определены модельные розы ветров вблизи хвостохранилища, сравнение которых с полевыми измерениями показывает хорошее совпадение, а сравнение с измерениями метеоспутников показывает качественное согласие (Каменецкий Е.С., Радионов А.А.).
Построена аналитическая математическая модель описания длиннопериодных вулканических землетрясений (ДВЗ), в рамках которой удается описать наблюдаемые особенности ДВЗ как колебания канала вулкана, заполненного сжимаемой магмой с реологией Максвелла. ДВЗ описываются как несжимаемым решением, в этом случае необходимо задать начальные условия для смещений в канале, а также сжимаемым решением, которое определяется возмущениями плотности дегазирующейся в процессе подъема магме в канале вулкана, при этом возникают осцилляции плотности и вертикальной скорости движения магмы в канале. Проведено сравнение модельных предсказаний с измерениями, выполненным для вулкана Сантьягуито, Гватемала, найдено удовлетворительное совпадение (Радионов А.А.).
2.3. Механика (п. 2.3.1 ПФНИ 2021-2030гг.)
На основе вариационного принципа градиентной электроупругости получены уравнения равновесия, граничные условия и условия сопряжения для составного стержня и слоистой полосы с учетом масштабных эффектов. Получены аналитические градиентные решения поставленных задач. Проведен сравнительный анализ полученных результатов градиентного решения с результатами классического решения. Выяснено, что по сравнению с классической теорией в окрестности сопряжения слоев наблюдается: 1) более гладкое распределение перемещений и электрического потенциала; 2) скачок компонентов тензора напряжений Коши и компонентов вектора электрической индукции; 3) непрерывность некоторых компонент тензора моментных напряжений и квадрупольного момента. Также выяснено, что с увеличением масштабных параметров перемещения и электрический потенциал уменьшаются (Ватульян А.О., Нестеров С.А.)
Представлен подход к идентификации переменных характеристик неоднородных термоэлектроупругих тел. Решение обратной задачи для цилиндра построено на основе итерационного процесса, на каждом этапе которого для нахождения поправок решаются интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода. Решение обратной задачи для слоя сведено к решению ряда одномерных задач относительно усредненных характеристик физических полей и их моментов. Реализован поэтапный подход по идентификации материальных характеристик слоя. Выяснено, что: 1) теплофизические характеристики и упругие модули восстанавливаются с небольшой погрешностью, как при отсутствии зашумления входной информации, так и при наличии 1%-го шума; 2) пьезомодули восстанавливаются с большей погрешностью, чем упругие модули; 3) успешная реконструкция пирокоэффициента возможна только при больших значениях параметра теплоэлектрической связанности (Ватульян А.О., Нестеров С.А.).
Представлено решение обратных задач об определении переменных реологических свойств функционально-градиентных балок по дополнительной информации об угле поворота концевого сечения в рамках моделей Бернулли-Эйлера и Тимошенко. В рамках концепции комплексных модулей получены нелинейные операторные уравнения, связывающие заданные и искомые функции (мгновенный и длительный модуль, время релаксации). Решение строится на основе метода линеаризации и формулировки итерационного процесса, на каждом шаге которого необходимо решать комплекснозначные краевые задачи и обращать вполне непрерывные операторы с комплекснозначными ядрами. Восстановлены функции, отражающие законы изменения длительного и мгновенного модулей. Приведены результаты вычислительных экспериментов в некоторых частных случаях (Ватульян А.О., Юров В.О.).
Рассмотрена обратная коэффициентная задача об идентификации свойств кубически анизотропной неоднородной по толщине полосы. При наличии дополнительной информации на всей верхней границе полосы в режиме установившихся колебаний становится возможным применение интегрального преобразования Фурье и переход от исходной двумерной задачи к ряду аналогичных одномерных задач, в которых неизвестные функции и соответствующие трансформанты полей смещений разделены. Построена схема реконструкции трёх неоднородных упругих характеристик. Реализован итерационный процесс, на каждом шаге которого решаются интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода. Проведен ряд вычислительных экспериментов по восстановлению монотонных и немонотонных законов (Явруян О.В.).
В рамках градиентной модели электроупругости проведено исследование задачи для электроупругой полосы с конечным электродом. В отличие от неполной постановки, рассмотренной ранее, когда градиентные свойства учитывались только в электрических полях, в настоящем исследовании рассмотрена полная постановка, когда градиентные свойства учтены как в механических, так и в электрических полях. Для получения решения использован интегральный подход, который позволяет свести задачу к исследованию интегро-дифференциального уравнения относительно интегрального оператора типа Коши. Исходя из полученных результатов можно сделать вывод о том, что рассмотрение полной градиентной модели в задачи об электроупругой полосе с электродом конечного размера позволяет построить регулярное в окрестности конца электрода решение (Ватульян А.О., Явруян О.В.).
На основе линеаризованной модели преднапряженного (ПН) тела описана постановка задачи о колебаниях тонкостенного цилиндра с переменными материальными свойствами, при этом рассмотрено неоднородное предварительное напряженное состояние. Проведены вычислительные эксперименты по анализу влияния законов неоднородности материальных модулей и компонент ПН на динамические характеристики оболочки – АЧХ и собственные частоты. Предложена методика исследования линейной обратной задачи об идентификации начального напряженного состояния цилиндрической оболочки на основе данных измерений смещений для некоторого набора частот колебаний при определенном типе зондирующего периодического нагружения (Ватульян А.О., Недин Р.Д.).
В рамках линеаризованной модели исследуются прямая и обратная задачи для планарных колебаний предварительно напряженной тонкой пластины. Предложена итерационно-регуляризирующая схема решения обратной задачи идентификации двумерного начального напряженного состояния по данным измерений перемещений на некотором участке границы в заданном частотном диапазоне. Новая методика базируется на проекционном и конечно-элементном методах. Она дает возможность использовать данные проведенной серии вибрационных испытаний с применением различных видов нагружения. Получены и проанализированы результаты вычислительных экспериментов по восстановлению некоторых двумерных распределений начального напряженного состояния в прямоугольной пластине (Недин Р.Д.).
Исследуется задача о реконструкции параметров определяющих соотношений упругих материалов на основании экспериментов по одноосному растяжению нелинейно-упругого образца призматической формы и раздуванию полого цилиндра. Моделирование экспериментов осуществляется с использованием полуобратного метода нелинейной теории упругости. На первом этапе решен ряд прямых задач. Построены диаграммы нагружения по заданным параметрам нелинейно-упругих моделей, которые в дальнейшем рассматриваются как исходные данные для обратной задачи, состоящей в восстановлении параметров. Задача сведена к нахождению минимума целевой функции, введенной по методу наименьших квадратов. В качестве средства анализа использованы эволюционные алгоритмы (Карякин М.И.).
Исследованы асимптотические модели течений в трубе с податливыми стенкам. Для вращательно симметричного безвихревого течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе с податливыми стенками на основе теории мелкой воды построено нелинейное амплитудное уравнение, описывающее поведение конечных возмущений в окрестности волн, распространяющихся вдоль характеристик. Обнаружено, что в случае рассматриваемого безвихревого течения (уравнения Навье – Стокса), уравнения течения не содержат членов, учитывающих вязкость (совпадают с уравнениями идеальной несжимаемой жидкости – уравнениями Эйлера). Влияние вязкости жидкости учитывается лишь за счет динамического краевого условия на границе. Амплитудное уравнение имеет вид уравнения Кортевега–де Вриза–Бюргерса. Вычислены коэффициенты уравнения и проведен качественный анализ поведения возмущений (Жуков М.Ю.).
Исследована конвективная устойчивость процесса изотахофореза – метода разделения многокомпонентной смеси на индивидуальные компоненты при помощи внешнего электрического поля. Показано, что основной вклад в устойчивость/неустойчивость равновесия вносят градиенты концентраций в окрестности границ между зонами индивидуальных компонент. Ввиду сложности построения точного решения, отвечающего механическому равновесию, оно заменено асимптотическим – кусочно-постоянным распределением концентраций. Выбор кусочно-постоянного механического равновесия приводит к градиентам концентрации в виде дельта-функций и линейной краевой задаче с дельтаобразными коэффициентами для определения критических параметров возникновения неустойчивости. Построено точное дисперсионное соотношение для определения критических параметров (в случае исчезающе-малой диффузии) с использованием метода одномерных возмущений (Жуков М.Ю.).
Исследован эффект коротких волн при движения сенситивных сред с таксисом. Рассмотрена так называемая гиперболическая модель каттанеовского типа при весьма умеренных предположениях о кинетике и транспортных коэффициентах (диффузии и сенситивной подвижности). Установлено, что усреднение по коротким волнам в случае общего положения приводит к возникновению слагаемых, описывающих своего рода «ветер». Последний способен дестабилизировать и разрушить равновесия гомогенизированной системы, которым соответствуют установившиеся коротковолновые режимы. При этом «штиль» (обнуление ветра) имеет место только при специальной форме транспортных коэффициентов, и в этом смысле представляет собой вырождение. Тем не менее, именно такой тип транспортных коэффициентов был предложен в предшествующих исследованиях (Тютюнов, Азовский и др. 2009-2010) с целью моделирования возникновения маломасштабных «мозаик» при распределении популяций веслоногих (Harpacticoida) (Моргулис А.Б.).
Рассматривается модель подвижного кругового цилиндра, взаимодействующего с тремя точечными вихрями. Исследуется влияние циркуляции цилиндра на устойчивость стационарного вращения системы трех одинаковых точечных вихрей, расположенных на окружности в вершинах правильного треугольника, и подвижного кругового, центр которого совпадает с центром окружности. Исследована матрица линеаризации. В результате пространство параметров задачи разделилось на области двух типов: область линейной устойчивости, где требуется нелинейный анализ, и область неустойчивости (Куракин Л.Г.).
Представлен подход к идентификации переменных характеристик неоднородных термоэлектроупругих тел. Решение обратной задачи для цилиндра построено на основе итерационного процесса, на каждом этапе которого для нахождения поправок решаются интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода. Решение обратной задачи для слоя сведено к решению ряда одномерных задач относительно усредненных характеристик физических полей и их моментов. Реализован поэтапный подход по идентификации материальных характеристик слоя. Выяснено, что: 1) теплофизические характеристики и упругие модули восстанавливаются с небольшой погрешностью, как при отсутствии зашумления входной информации, так и при наличии 1%-го шума; 2) пьезомодули восстанавливаются с большей погрешностью, чем упругие модули; 3) успешная реконструкция пирокоэффициента возможна только при больших значениях параметра теплоэлектрической связанности (Ватульян А.О., Нестеров С.А.).
Представлено решение обратных задач об определении переменных реологических свойств функционально-градиентных балок по дополнительной информации об угле поворота концевого сечения в рамках моделей Бернулли-Эйлера и Тимошенко. В рамках концепции комплексных модулей получены нелинейные операторные уравнения, связывающие заданные и искомые функции (мгновенный и длительный модуль, время релаксации). Решение строится на основе метода линеаризации и формулировки итерационного процесса, на каждом шаге которого необходимо решать комплекснозначные краевые задачи и обращать вполне непрерывные операторы с комплекснозначными ядрами. Восстановлены функции, отражающие законы изменения длительного и мгновенного модулей. Приведены результаты вычислительных экспериментов в некоторых частных случаях (Ватульян А.О., Юров В.О.).
Рассмотрена обратная коэффициентная задача об идентификации свойств кубически анизотропной неоднородной по толщине полосы. При наличии дополнительной информации на всей верхней границе полосы в режиме установившихся колебаний становится возможным применение интегрального преобразования Фурье и переход от исходной двумерной задачи к ряду аналогичных одномерных задач, в которых неизвестные функции и соответствующие трансформанты полей смещений разделены. Построена схема реконструкции трёх неоднородных упругих характеристик. Реализован итерационный процесс, на каждом шаге которого решаются интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода. Проведен ряд вычислительных экспериментов по восстановлению монотонных и немонотонных законов (Явруян О.В.).
В рамках градиентной модели электроупругости проведено исследование задачи для электроупругой полосы с конечным электродом. В отличие от неполной постановки, рассмотренной ранее, когда градиентные свойства учитывались только в электрических полях, в настоящем исследовании рассмотрена полная постановка, когда градиентные свойства учтены как в механических, так и в электрических полях. Для получения решения использован интегральный подход, который позволяет свести задачу к исследованию интегро-дифференциального уравнения относительно интегрального оператора типа Коши. Исходя из полученных результатов можно сделать вывод о том, что рассмотрение полной градиентной модели в задачи об электроупругой полосе с электродом конечного размера позволяет построить регулярное в окрестности конца электрода решение (Ватульян А.О., Явруян О.В.).
На основе линеаризованной модели преднапряженного (ПН) тела описана постановка задачи о колебаниях тонкостенного цилиндра с переменными материальными свойствами, при этом рассмотрено неоднородное предварительное напряженное состояние. Проведены вычислительные эксперименты по анализу влияния законов неоднородности материальных модулей и компонент ПН на динамические характеристики оболочки – АЧХ и собственные частоты. Предложена методика исследования линейной обратной задачи об идентификации начального напряженного состояния цилиндрической оболочки на основе данных измерений смещений для некоторого набора частот колебаний при определенном типе зондирующего периодического нагружения (Ватульян А.О., Недин Р.Д.).
В рамках линеаризованной модели исследуются прямая и обратная задачи для планарных колебаний предварительно напряженной тонкой пластины. Предложена итерационно-регуляризирующая схема решения обратной задачи идентификации двумерного начального напряженного состояния по данным измерений перемещений на некотором участке границы в заданном частотном диапазоне. Новая методика базируется на проекционном и конечно-элементном методах. Она дает возможность использовать данные проведенной серии вибрационных испытаний с применением различных видов нагружения. Получены и проанализированы результаты вычислительных экспериментов по восстановлению некоторых двумерных распределений начального напряженного состояния в прямоугольной пластине (Недин Р.Д.).
Исследуется задача о реконструкции параметров определяющих соотношений упругих материалов на основании экспериментов по одноосному растяжению нелинейно-упругого образца призматической формы и раздуванию полого цилиндра. Моделирование экспериментов осуществляется с использованием полуобратного метода нелинейной теории упругости. На первом этапе решен ряд прямых задач. Построены диаграммы нагружения по заданным параметрам нелинейно-упругих моделей, которые в дальнейшем рассматриваются как исходные данные для обратной задачи, состоящей в восстановлении параметров. Задача сведена к нахождению минимума целевой функции, введенной по методу наименьших квадратов. В качестве средства анализа использованы эволюционные алгоритмы (Карякин М.И.).
Исследованы асимптотические модели течений в трубе с податливыми стенкам. Для вращательно симметричного безвихревого течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе с податливыми стенками на основе теории мелкой воды построено нелинейное амплитудное уравнение, описывающее поведение конечных возмущений в окрестности волн, распространяющихся вдоль характеристик. Обнаружено, что в случае рассматриваемого безвихревого течения (уравнения Навье – Стокса), уравнения течения не содержат членов, учитывающих вязкость (совпадают с уравнениями идеальной несжимаемой жидкости – уравнениями Эйлера). Влияние вязкости жидкости учитывается лишь за счет динамического краевого условия на границе. Амплитудное уравнение имеет вид уравнения Кортевега–де Вриза–Бюргерса. Вычислены коэффициенты уравнения и проведен качественный анализ поведения возмущений (Жуков М.Ю.).
Исследована конвективная устойчивость процесса изотахофореза – метода разделения многокомпонентной смеси на индивидуальные компоненты при помощи внешнего электрического поля. Показано, что основной вклад в устойчивость/неустойчивость равновесия вносят градиенты концентраций в окрестности границ между зонами индивидуальных компонент. Ввиду сложности построения точного решения, отвечающего механическому равновесию, оно заменено асимптотическим – кусочно-постоянным распределением концентраций. Выбор кусочно-постоянного механического равновесия приводит к градиентам концентрации в виде дельта-функций и линейной краевой задаче с дельтаобразными коэффициентами для определения критических параметров возникновения неустойчивости. Построено точное дисперсионное соотношение для определения критических параметров (в случае исчезающе-малой диффузии) с использованием метода одномерных возмущений (Жуков М.Ю.).
Исследован эффект коротких волн при движения сенситивных сред с таксисом. Рассмотрена так называемая гиперболическая модель каттанеовского типа при весьма умеренных предположениях о кинетике и транспортных коэффициентах (диффузии и сенситивной подвижности). Установлено, что усреднение по коротким волнам в случае общего положения приводит к возникновению слагаемых, описывающих своего рода «ветер». Последний способен дестабилизировать и разрушить равновесия гомогенизированной системы, которым соответствуют установившиеся коротковолновые режимы. При этом «штиль» (обнуление ветра) имеет место только при специальной форме транспортных коэффициентов, и в этом смысле представляет собой вырождение. Тем не менее, именно такой тип транспортных коэффициентов был предложен в предшествующих исследованиях (Тютюнов, Азовский и др. 2009-2010) с целью моделирования возникновения маломасштабных «мозаик» при распределении популяций веслоногих (Harpacticoida) (Моргулис А.Б.).
Рассматривается модель подвижного кругового цилиндра, взаимодействующего с тремя точечными вихрями. Исследуется влияние циркуляции цилиндра на устойчивость стационарного вращения системы трех одинаковых точечных вихрей, расположенных на окружности в вершинах правильного треугольника, и подвижного кругового, центр которого совпадает с центром окружности. Исследована матрица линеаризации. В результате пространство параметров задачи разделилось на области двух типов: область линейной устойчивости, где требуется нелинейный анализ, и область неустойчивости (Куракин Л.Г.).
2.4. Информационно-вычислительные системы и среды в науке и образовании (п. 1.1.8 ПФНИ 2021-2030гг.)
Разработка новых образовательных технологий. Выявлены особенности, характеристики и измерители профессиональных дефицитов готовности педагога к управлению освоением обучающимися сложных систем и знаний в насыщенной информационно-образовательной среде освоения математики. При этом выявлены 6 блоков особенностей в управлении освоением сложных систем и знаний и 5 характеристик профессиональных дефицитов педагогов в нишах готовности: ценностно-мотивационной; личностно-адаптационной; когнитивной; процессуальной; обобщающе-преобразующей. Степень выраженности каждого критерия готовности педагога определяется объемом типологий профессиональных дефицитов педагога (личностных, методологических, предметных и методических) в реализации процессов управления освоением обучающимися математико-информационного содержания сложных систем и знаний. Определены методика и средства организации и результаты выявления профессиональных дефицитов педагогов на репрезентативных выборках респондентов и математико-статистической обработке данных. Базовым средством диагностики личностных качеств являлись кейс-тесты (или тест-кейсы) с тестовым сценарием с абстрактными предусловиями, входными данными, ожидаемыми результатами, постусловиями и действиями (Абатурова В.С., Дятлов В.Н., Малова И.Е., Смирнов Е.И.).